专题04 回归分析、独立性检验、分布列（解析版）-【新高考】2021年高考数学考前复习高频易考解答题专题

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专题 04 回归分析、独立性检验、分布列

知识必备+难点剖析+模拟演练

知识必备

一、回归分析

1.回归方程，其中：

(注：主要方便计算，其中(xi，yi)为样本数据，（为样本点的中心)

公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋

势.

公式联系：是进行残差分析的基础.

2.样本相关系数的具体计算公式：

公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱.当r的绝对值接近 1时，表明两个变量的线性相关性越强；当 r的

绝对值接近 0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.规定当 r>0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关关系.

公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率 b的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公式的记法)，因此，当

r>0 时，两个变量正相关；当 r<0 时，两个变量负相关.

(2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关.

散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失

效；它形象直观地反映了数据点的分布情况.

相关系数 r是从数上反映了两个随机变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据

点的分布情况，准确可靠.

3.我们可以用相关指数 R2来刻画回归的效果，其计算公式是：

R2＝1－

用R2来刻画回归的效果.对于已经获取的样本数据，R2表达式中的为确定的数.因此 R2越大，意味着残差

平方和越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差.在线性回归模

型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R2越接近于 1，表示回归的效果越好.R2是常用的选择模型的指标之

一，在实际应用中应该尽量选择 R2大的回归模型.

二、独立性检验

(一)基础概念的梳理与理解

1.分类变量：对于宗教信仰来说，其取值为信宗教信仰与不信宗教信仰两种.像这样的变量的不同“值”表示个体所属

的不同类别的变量称为分类变量.例如性别变量其取值为男和女两种，吸烟变量其取值为吸烟与不吸烟两种.

2.两个分类变量：是否吸烟与是否患肺癌，性别男和女与是否喜欢数学课程等等，这些关系是我们所关心的.

3.2×2列联表：列出的两个分类变量 X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}的样本频数表称为 2×2列联表(如

下表).

y1y2总计

x1a b a＋b

x2c d c＋d

总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d

(二)两个分类变量是否有关的粗略估计

等高条形图

由深、浅颜色的高度可见两种情况下的百分比；另一方面，数据要比小得多，因此，说明两分类变量 X

和Y有关系成立的可能性较大.

重点：等高条形图能直观地看出在两个分类变量频数相等的情况下，各部分所占的比例情况.

(三)独立性检验的基本思想

上面通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也

就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的.但是上面的分析给了我们一种重要的思想方

法.

下面从理论上说明两类分类变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法.

1.基本思想与图形的联系

假设两类分类变量是无关的，可知如下的比应差不多，即： ≈ ⇒|ad－bc|＝0.

构造随机变量 K2＝ (其中 n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何记忆，其特点是什么？结合 2×2列

联表理解).

显然所构造的随机变量与|ad－bc|的大小具有一致性.

2.独立性检验的思想方法

如果 K2的观测值较大，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两分类变量是有关系的(称小概率事

件发生)；如果 K2的观测值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的.其思想方法类似于数学上的反证法.

3.得到 K2的观测值k常与以下几个临界值加以比较：

如果 k>2.706，就有 90%的把握认为两分类变量 X和Y有关系；如果 k>3.841，就有 95%的把握认为两分类变量 X和Y

有关系；如果 k>6.635，就有 99%的把握认为两分类变量 X和Y有关系；如果 k>10.828，就有 99.9%的把握认为两分类

变量 X和Y有关；如果 k≤2.706，就认为没有充分的证据说明变量 X和Y有关系.

像这种利用随机变量 K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.

三、离散型随机变量及其分布列

1．随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母

X ， Y ， ξ ， η ，…表示 ❶.

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．

2．离散型随机变量分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量 X可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值 xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝

xi)＝pi，以表格的形式表示如下：

X x1x2…xi…xn

P p1p2…pi…pn

❷此表称为离散型随机变量 X的概率分布列，简称为 X的分布列.有时也用等式 PX＝xi＝pi，i＝1，2，…，n表示 X

的分布列.

(2)分布列的性质

①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②＝1.

3．常见的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布列

X0 1

P1－pp

若随机变量 X的分布列具有上表的形式，则称 X服从两点分布，并称为成功概率

(2)超几何分布列❹

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则 P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中 m ＝

min{ M ， n } ，且

n ≤ N ， M ≤ N ， n ， M ， N ∈ N *

❺.

X0 1 … m

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