专题3.5 随机变量及其分布（新高考）（解析版）

3.0 envi 2025-02-12 17 4 1.03MB 25 页 3知币
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专题 3.5 随机变量及其分布
1．判断随机变量是否服从二项分布：
（1）看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为 ，
；
（2）看是否为 次独立重复试验，且随机变量是否为某事件在这 次独立重复试验中
发生的次数．
2．求随机变量 的期望与方差的方法及步骤：
（1）理解随机变量 的意义，写出 可能的全部值；
（2）求 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
（3）由期望和方差的计算公式，求得数学期望 ；
（4）若随机变量 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布）
可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解．
【预测题 1】近年来，手机行业的竞争已经进入白热化阶段，各大品牌手机除了靠不断提
高手机的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，用“烧
钱”来形容毫不为过小明对某品牌手机近 5年的广告费投入(单位：亿美元)进行了统计，
具体数据见下表．
年份代号 12345
广告费投入 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6
并随机调查了 300 名市民对该品牌手机的喜爱情况，得到的部分数据见下表
喜欢 不喜欢
50 岁以下市民 50
50 岁以上市民 60 40
1
（1）求广告费投入 与年份代号 之间的线性回归方程；
（2）是否有 的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性？
（3）若以这 300 名市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度的情况估计整体情况，则从这 300
名市民中随机选取 3人，记选到喜欢该品牌手机且 50 岁以上的市民人数为 ．求 的分
布列及数学期望 ．
附：①回归直线中 ， ， ；
② ，其中 ．
【答案】（1） ；（2）有 的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的
喜爱度具有相关性；（3）分布列答案见解析，数学期望： ．
【解析】（1）依题意知 ，
，
所以 ，
2
，
于是 ，
所以 ，
故广告费投入 与年份代号 之间的线性回归方程为 ；
（2）补充完整的 列联表如下：
喜欢 不喜欢
50 岁以下市民 150 50 200
50 岁以上市民 60 40 100
总计 210 90 300
所以 ，
故有 的把握认为市民的年龄与对该品牌手机的喜爱度具有相关性；
（3）依题意知随机变量 的可能取值为 0，1，2，3．
从这 300 名市民中随机抽取 1人，是喜欢该品牌手机且 50 岁以上的市民的概率为 ，
所以 ， ，
， ，
故 的分布列如下：
0123
3
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