专题03 函数的对称性（原卷版）

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高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020 版】
结论三：函数的对称性
结
论
已知函数 f(x)是定义在 R上的函数.
(1) 若f(a+x)=f(b-x) 恒 成 立 ,则y=f(x) 的 图 象 关 于 直 线 x=
a+b
2
对 称 ,特 别 地 ,若
f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称;
(2) 若f(a+x)+f(b-x)=c, 则y=f(x) 的图象关于点
(
a+b
2,c
2
)
对 称 .特别地,若f(a+x)+f(a-
x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
解
读
有对称的定义可以说明这两个结论的成立。例如：如果函数 y=f（x）满足 f（a+x）=f（b-x），则
y=f（x）图象关于 x=
a+b
2
对称，由于 f（a+x）=f（b-x），两式中的变量到直线 x=
a+b
2
的距离相等
并且函数值也相等，所以 y=f（x）图象关于 x=
a+b
2
对称。
典
例
定义域为 的函数 满足 ，函数 .若 与
的图象有 4个交点，且每个交点的横坐标之和与纵坐标之和分别为 ， ，则
（ ）
A．-2 B．0 C．2 D．4
解
析
反本题考查了函数的对称性及其应用以及数形结合的思想。由 可得 的图象
1
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