专题2.7 空间向量与立体几何（原卷版）

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专题 2.7 空间向量与立体几何
1．求空间中直线与平面所成角的常见方法
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值
即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角
的正弦值．
2．利用向量求异面直线所成的角的方法
设异面直线 AC，BD 的夹角为 β，则 cos β＝ ．
3．利用向量求线面角的方法：
①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角
(或其补角)；
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余
角就是斜线和平面所成的角．
4．利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过
两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角
还是钝角．
1．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形．且 平面 ，M，N
分别为 的中点．
1
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
2．如图甲是由正方形 ，等边 和等边 组成的一个平面图形，其中
，将其沿 ， ， 折起得三棱锥 ，如图乙．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）过棱 作平面 交棱 于点 ，且三棱锥 和 的体积
比为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
3．如图，三棱锥 的底面 和侧面 都是边长为 4的等边三角形，且平面
2
平面 ，点 为线段 中点，点 为 上的动点．
（1）若平面 平面 ，求线段 的长；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
4．如图，在三棱柱 中，
．
（1）证明： 平面 ；
（2）设点 D为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值．
3
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