专题02 平面向量解析三角形的“四心”（原卷版）

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专题 02 平面向量解析三角形的“四心”
一．“四心”的概念介绍及平面向量表示
1. 重心——中线的交点：重心将中线长度分成 2：1.
⃗
OA +
⃗
OB +
⃗
OC =
⃗
0⇔
O
是
Δ ABC
的重心.
O
A
B
C
D
E
2. 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直.
⃗
OA⋅
⃗
OB=
⃗
OB⋅
⃗
OC=
⃗
OC⋅
⃗
OA ⇔
为 的垂心.
3. 内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边长，
O
是 的内心.
a
⃗
OA +b
⃗
OB +c
⃗
OC =
⃗
0⇔O
为 的内心.
4. 外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等．
|
⃗
OA|=|
⃗
OB|=|
⃗
OC|
⇔
O
为 的外心.
二．考点讲解
考点一：三角形的重心
例 1：在 中，已知 ， ， 为 的重心，用向量 表示向量 ______.
例 2：若 是 内部一点，且满足 ，则 与 的面积比为_______.
O
A
B
C
D
E
1
考点二：三角形的垂心
例 3：已知点 是 所在平面内一点，且满足 ，则直线
必经过 的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
考点三：三角形的内心
例 4： 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，
，则 点的轨迹一定经过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
考点四：三角形的外心
例 5：在 中， ， ， ，点 O为 所在平面上一点，满足
（ 且 ）．
（1）证明： ；
（2）若点 O为 的重心，求 m、n的值；
（3）若点 O为 的外心，求 m、n的值．
2
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