专题02 各类角的证明与求解（第三篇）（解析版）

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第三篇立体几何

专题 02 各类角的证明与求解

类型对应典例

平移法作异面直线所成角典例 1

利用三余弦公式求解异面直线所成角典例 2

定义法求解线面角典例 3

转化法求线面角典例 4

常规二面角的求解典例 5

附加条件的二面角求解典例 6

【典例 1】【天津市南开区 2019 届高三第二学期模拟】

如图，在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面 ABC，AC=AB=SA=2，AC ⊥AB，D，E分别是 AC，BC 的中点，F在

SE 上，且 SF=2FE.

（Ⅰ）求异面直线 AF 与DE 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求证：AF⊥平面 SBC；

（Ⅲ）设 G为线段 DE 的中点，求直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值。

【思路引导】

（Ⅰ）由题意可知 DE∥AB，故∠FAB 或其补角为异面直线 AF 与DE 所成角；

（Ⅱ）由（I）知 AF⊥SE，易证 BC⊥AF，从而 AF⊥平面 SBC；

（Ⅲ）延长 AG 交BC 于P点，连结 PF. 由（II）知 AF⊥平面 SBC，所以 PF 为AP 在平面 SBC 上的投影，

故∠APF 即为直线 AG 与平面 SBC 所成角

【详解】

解（I）.连结 BF.

在△ABC 中，D，E分别是 AC，BC 的中点，

∴DE∥AB，

∴∠FAB 或其补角为异面直线 AF 与DE 所成角

由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC 的中点，得 AE=

∵SA⊥底面 ABC，∴SA⊥AE.

在Rt△SAE 中，SE= ，可得

∵SA⊥底面 ABC，∴.SA⊥BC，又 BC⊥AE，

∴BC⊥平面 SAE，

∴BC⊥SE，

∵

∴BF=

∴

即异面直线 AF 与DE 所成角的余弦值。

（II）.由（I）知，∴AF⊥SE.

∵BC⊥平面 SAE，所以 BC⊥AF.

又SE BC=E，.AF⊥平面 SBC.

（III）.延长 AG 交BC 于P点，连结 PF.

由（II）知 AF⊥平面 SBC，∴PF 为AP 在平面 SBC 上的投影，

∴∠APF 即为直线 AG 与平面 SBC 所成角

∵G为线段 DE 的中点，

∴CP=2PE，又 SF=2FE，

.∴

即直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值为

【典例 2】【天津市红桥区 2019 届高三一模】

如图，四面体 ABCD 中，O、E分别是 BD、BC 的中点，， .

（1）求证：平面 BCD；

（2）求异面直线 AB 与CD 所成角的余弦值；

（3）求点 E到平面 ACD 的距离。

【思路引导】

（1）连接 OC，由 BO＝DO，AB＝AD，知 AO⊥BD，由 BO＝DO，BC＝CD，知 CO⊥BD．在△AOC 中，

由题设知，AC＝2，故 AO2+CO2＝AC2，由此能够证明 AO⊥平面 BCD；

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