专题02 变量间的相关关系与回归分析（第四篇）（解析版）

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第四篇 概率与统计
专题 02 变量间的相关关系与回归分析
类型 对应典例
线性回归方程的求解与预测 典例 1
两类线性回归模型的分析与判断 典例 2
非线性回归方程的求解与预测 典例 3
两类非线性回归方程的分析与判断 典例 4
两类回归方程的拟合效果的比较分析 典例 5
回归模型中的线性相关的分析与相关系数的求解 典例 6
【典例 1】【2020 届辽宁省实验中学高三上学期期末】足球是世界普及率最高的运动，我国大力发展校园
足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况，社会调查小组得到如下统计数据：
年份 x2014 2015 2016 2017 2018
足球特色学校 y（百个） 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
（1）根据上表数据，计算 y与x的相关系数 r，并说明 y与x的线性相关性强弱.
（已知： ，则认为 y与x线性相关性很强； ，则认为 y与x线性相关性一般；
，则认为 y与x线性相关性较）：
（2）求 y关于 x的线性回归方程，并预测 A地区 2020 年足球特色学校的个数（精确到个）.参考公式和数
据： ，
，.
1
【思路点拨】
（1）根据题意计算出 r，再比较即得解；
（2）根据已知求出线性回归方程，再令 x=2020 即得解.
解：（1）由题得
所以 ，
y与x线性相关性很强.
（2）
，
，
关于 的线性回归方程是 .
当 时， ，
即该地区 2020 年足球特色学校有 244 个.
【典例 2】【2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷 II)】
下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图．
2
为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型．根据 2000
年至 2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型①： ；根据 2010 年至
2016 年的数据（时间变量 的值依次为 ）建立模型②： ．
（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【思路引导】
分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为 2018 时所对应的函数值，就得结果;（2）
根据折线图知 2000 到2009，与 2010 到2016 是两个有明显区别的直线，且 2010 到2016 的增幅明显高于
2000 到2009，也高于模型 1的增幅，因此所以用模型 2更能较好得到 2018 的预测.
解：（1）利用模型①，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为
=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=–30.4+13.5t上下，这说
明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010
年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，
3
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