专题01 第六章 平面向量及其应用（知识串讲）-2020年盘点高一起步高二暑假专题训练（新教材）

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专题 01 第六章 平面向量及其应用（知识串讲）
6.1 平面向量的概念
1．向量及其几何表示
(1)向量的定义
一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度)；
只有大小的量称为标量，如长度、面积等．
(2)向量的表示
① 有向线段：具有方向的线段．
② 向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的
方向．始点为 A终点为 B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为 AB，此时向量的模用 表示．向
量也可用一个小写字母来表示：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如 a，b，c等来表示向量；在书写
时，用带箭头的小写字母如a，b，c等来表示向量.
2．向量的有关概念
例1【易错题】　判断下列命题是否正确，请说明理由．
(1)若向量 a与b同向，且|a|>|b|，则 a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则 a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若 a与b的方向相同，则 a＝b；
(4)由于 0方向不确定，故 0不与任意向量平行；
(5)向量 a与向量 b平行，则向量 a与b方向相同或相反．
易错辨析：忽略向量的大小、方向两个要素．
【解析】(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
1
名称 定义 记法
零向量 始点和终点相同的向量模为 00或0
非零向量 模不为 0的向量
单位向量 模等于 1
的向量，如 e|e|＝1
相等向量 大小相等、方向相同的向量 a＝b
平行向量(或共
线向量)
方向相同或相反的非零向量 a∥b
规定：零向量与任意向量都平行 0∥a
(3)正确．因为|a|＝|b|，且 a与b同向，由两向量相等的条件，可得 a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量 a与向量 b若有一个是零向量，则其方向不定．
跟踪训练 给出下列命题：
① 若|a|＝|b|，则 a＝b或a＝－b；
② 向量的模一定是正数；
③ 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④ 向量AB与CD是共线向量，则 A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
【答案】③
【解析】①错误．|a|＝|b|仅说明 a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误．如|0|＝0.
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量 AB，CD必须在同一直线
上．
6.2 平面向量及其线性运算
6.2.1 向量的加法运算
1．向量的加法法则
(1)三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量 a，b，在该平面内任取一点 A，作AB＝a，BC＝b，作出向量AC，则向
量AC 称为向量 a与b的和(或和向量)，记作 a ＋ b ，即 a＋b＝AB＋BC＝AC.
上述求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则．
对于零向量与任意向量 a的和，有 a＋0＝0+a＝a.
向量 a，b的模与 a＋b的模的关系：||a|－|b||≤|a＋b|≤| a | ＋ | b | .
(2)平行四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量 a，b，在该平面内任取一点 A
，
作AB＝a，AD＝b，则 A，B，D三点不
共线，以 AB，AD 为邻边作一个平行四边形 ABCD，则对角线上的向量AC＝a ＋ b .这种求两向量和的作图方
法称为向量加法的平行四边形法则．
2．向量加法的运算律
交换律 结合律
a＋b＝b ＋ a (a＋b)＋c＝a＋( b ＋ c )
2
例2【易错题】(1)化简AE＋EB＋BC等于(　　)
A.AB　　　B.AC　　　C.CE　　　D.BE
(2)如图所示，a＋d＝________，c＋b＝________.
(3)若正方形 ABCD 的边长为 1，AB＝a，AD＝b，AC＝c.试作出向量 a＋b＋c，并求出其模的大小．
易错辨析：利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图．
【答案】(1)B　(2)DA　CB　
【解析】(1)由向量加法的三角形法则可得：
AE＋EB＋BC＝AB＋BC＝AC.故选 B.
(2)由向量求和的三角形法则可知 a＋d＝DA，c＋b＝CB.
(3)根据平行四边形法则可知，a＋b＝AB＋AD＝AC.
根据三角形法则，延长 AC，在 AC 的延长线上作CE＝AC，则 a＋b＋c＝AC＋AC＝AC＋CE＝AE(如图所
示)．
所以|a＋b＋c|＝|AE|＝2＝2.
易错点拨： 向量求和的注意点
(1)三角形法则适用于首尾顺次连接的向量和，对于两个向量共线时也适用．
(2)两个向量的和向量仍是一个向量．
(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．
跟踪训练（1）如图所示，设 O为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量：
(1)OA＋OC；
(2)BC＋FE.
【解析】　(1)由题图可知，四边形 OABC 为平行四边形，
∴由向量加法的平行四边形法则，
3
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