专题01 导数的几何意义的应用（第六篇）（解析版）

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第六篇 函数与导数
专题 01 导数的几何意义的应用
类型 对应典例
在点切线问题 典例 1
过点切线问题 典例 2
公切线问题 典例 3
利用切线关系研究其他问题 典例 4
利用切线方程求参数的值或范围 典例 5
【典例 1】【山西省吕梁市 2019 届高三上学期第一次模拟考试】已知函数 .
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）证明： .
【思路引导】
(1)对函数 求导后由几何意义求出函数在点 处的切线方程
(2)由导数可知存在极小值点，即最小值，下证
【详解】
（1） ， ，
又由题意得 ， ，所以 ，
即切线方程为 .
（2）证明：由（1）知 ，易知 在区间 单调递增，
1
，且 ，所以 ，使得 ，即 有唯一的根，
记为 ，则 ，
对 两边取对数，得 整理得 ，
因为 时， ， ，函数 单调递减，
时， ， ，函数 单调递增，
所以 .
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，所以 ，即 .
【典例 2】【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区 2019 届高三 5月联考】已知函数 ， .
（1）当 为何值时，直线 是曲线 的切线；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
【思路引导】
（1）先令 ，求其导数，设切点为 ，由直线 是曲线 的
切线，得到 ，用导数的方法研究函数 的单调性，即可求出结果；
（2）先令 ，对其求导，分别讨论 和 两种情况，结合
2
题意，即可得到结果.
【详解】
（1）令 ， ，
设切点为 ，则 ， ，则 .
令 ， ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，且 ，所以 .
（2）令 ，则 ，
① 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，所以 满足题意.
② 当 时，令 ，得 ，
所以当 时， ，当 时， .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
（ⅰ）当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以
a≤
√
e−1
，此时无解.
（ⅱ）当 ，即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 .
3
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