专题01 初等函数中的数形结合思想-2021年高考数学总复习数学思想大专题（新高考地区专用）

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1. 要点说明
何为数形结合？“数”是可以为实数、代数、函数或者方程等等，“形”则是图形。“数”的特征是精准但是
抽象，“形”的特征是直观但不精准。二者各有所长，也各有所短。我们取“数”“形”所长，补“形”“数”之
短，互为补充，以此来最大化的发挥分析问题的价值的思维方式就是“数形结合”。
高中数学要特别注意数形结合思想方法的深度发挥：见数想形，见形想数，数形结合，天下无敌！
2. 要点梳理
任何知识都不是无本之木，数形结合也是如此。在函数这个极为重要的板块中，尤其要注意数形结合思想的
“根”。总体而言，应该熟悉以下内容：
（1）清楚一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数以及幂函数的一般解析式与相
关图像，要尤其把握每种函数的参数变化时，其对应函数图形的变化。例如三角函数的自变量系数变化所带来的图
形周期变化等。
（2）清楚基本图像的变化规则：平移变化，对称变化（翻折变化以及翻转变化），伸缩变化。
（3）可以灵活处理各组变化规则的组合。
（1）定义域优先原则：无论什么情况，出现函数解析式一定要先考虑函数定义域的范围，否则容易多解或者漏
解！
（2）等价原则：无论是由数化形，还是由形化数，一定要注意等价，也就是在经过多次变化解析式或者函数
图像时，要保证每一步转化都是相同范围内的转化，不会出现因为转化而产生的参数或者定义域范围违背题设的限
制！
（3） 变 化 的 先 后 顺 序 ， 例 如
|−x+2|
， 应 先 考 虑 翻 折 变 化 ， 再 考 虑 增 加 负 号 的 翻 转 变 化 ， 如 下 ：
x→|x|→|x+2|→|−x+2|
（4）注意避免自变量系数的干扰，例如：
f(−2x)→f(−2x+4)
，是函数
f(−2x)
向右平移 2个单位得到
f(−2x+4)
，而不是向左平移 4个单位！因为，变化只和自变量
x
有关！其具体变化过程是：
f(−2x)→f[−2(x)]→f[−2(x−2)]→ f(−2x+4)
，本质上是从
到
x−2
的变化！
（1）见数想形：
①看到实数、代数，可以联想到数轴上的定点或者动点，看到函数解析式，可以想到函数的相关图像，并且可
以利用函数解析式中的参数关系，推导相应函数图像的动态变化过程；
②善于转化，方程或函数解析式使之构造成新的结构，起到化繁为简，化不熟悉为熟悉，化动为定的作用。
1.函数部分数形结合的根基在哪里？
2.函数部分数形结合需要注意些什么？
3.数形结合的一般步骤有哪些？
专题 01 初等函数中的数形结合思想
1
③要不断思考“数”的“几何意义”，从“概念”上把握问题本质。
（2）见形想数：
①看到函数图形（也包括其他平面几何图形），要思考解析式的形式以及参数的可能范围；
②要特别留意图形中的关键数据，关键几何位置，例如二次函数的对称轴，某些图像的最高点，最低点，单调
区间，对称中心……要考虑把图形上的直观变化趋势或者点位用方程去表达！
（3）数形结合：
数形结合很多时候都可以利用图像提供解题便利，这种便利的本质是：定态问题一般直接或转化一次求解，但是
对于动态问题，常用的办法是将问题转化成一定一动的情况，以定态的图像约束动态几何要素的运动范围，从而产
生运动边界，以边界作为不等式建立的基础，从而求解出参数的范围！
（1）对称变换的补充：
① 若
f(m+x)=f(n−x)
，则
f(x)
的图像关于直线
x=m+n
2
对称；
特别地，如果
f(m+x)=f(m−x)
，则
f(x)
图像关于直线
x=m
对称；
m=0
为偶函数。
注意：如果函数存在一个对称轴，且函数在对称轴左右都是分别单调的，那么如果函数开口向上，自变量
取值越接近对称轴，对应的函数值越小，反之越大。这个性质在考试中也经常出现！
② 若
f(m+x)=−f(n−x)
，则
f(x)
的图像关于点
(m+n
2,0)
对称；
注意，若
f(m+x)=−f(m−x)
，则
f(x)
图像关于点
(m, 0)
对称；
m=0
为奇函数。
③ 若
f(m+x)+f(n−x)= p
，则
f(x)
的图像关于点
(m+n
2,p
2)
对称。
（2）周期变换额补充：
①若
f(x+T)=f(x)
(
T≠0
)，则
f(x)
为周期函数，
|T|
为一个周期。
②若
f(x+m)=f(x+n)
(
m≠n
)，则
f(x)
为周期函数，
|m−n|
为一个周期。
③若
f(x+m)=−f(x)
(
m≠0
)，则
f(x)
为周期函数，
2|m|
为一个周期。
④若
f(x+m)= 1
f(x)
(
m≠0
)，则
f(x)
为周期函数，
2|m|
为一个周期。
（3）对称与周期的关系
① 若
f(x)
的图像有两条对称轴
x=m
和
x=n
(
m≠n
)，则
f(x)
为周期函数，
2|m−n|
为一个周期。
② 若
f(x)
的图像有两个对称中心
(m, 0)
和
(n , 0)
(
m≠n
)，则
f(x)
为周期函数，
2|m−n|
为一个周期。
③若
f(x)
的图像有一条对称轴
x=m
和一个对称中心
(n , 0)
(
m≠n
)，则
f(x)
为周期函数，
4|m−n|
为
4.拓展补充（可按需要选择学习）
2
一个周期。
特别地，正余弦三角函数图像对称性也是如此，所以你们可以以此作为例子来掌握上述规律！
3. 题海述真
此部分，系统归纳需要数形结合的函数 8大题型，由易到难，完全归纳解析！
此类问题比较常见的是具有对称轴的函数（类似二次函数），我们利用“远近”关系来转化问题。
从上图可以轻松看出，如果函数图像开口向上，在
x
轴上的点，离对称轴越远，函数值越大，反之越小；
如果函数图像开口向下，在
x
轴上的点，离对称轴越远，函数值越小，反之越大。
利用上述性质，配合函数的基本性质，可以简化我们常见的一类问题。如下：
例1.定义在
R
上的偶函数
f(x)
满足：对任意的
x1, x2∈[0,+∞)
(x1≠x2)
，有
f(x2)−f(x1)
x2−x1
<0
．
则（　　）
A
.
f(3)<f(−2)<f(1)
B
.
f(1)<f(−2)<f(3)
C
.
f(−2)<f(1)<f(3)
D
.
f(3)<f(1)<f(−2)
解析：根据“偶函数”可知函数存在对称轴
x=0
，根据
f(x2)−f(x1)
x2−x1
<0
可以判定
f(x)
为
[0,+∞)
上的
减函数。于是可得，
f(x)
为开口向下类型函数，
−2,1,3
三个数与
x=0
距离越近函数值越大，易知 A
正确。
例2.已知偶函数
f(x)
在区间[0，+∞）上单调递增，则满足
f(2x−1)<f(3)
的
x
取值集合是
_____________.
题型一 与函数性质有关的数学模型
3
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