专题01 2020南充二诊函数与导数压轴题-2020年高考数学（文）函数与导数考点分析

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2020 南充二诊函数与导数压轴题
内容提要：
纵观历年高考真题，导数与高等数学衔接紧密，是研究函数的重要工具，常以压轴题
形式出现，与函数，不等式，方程综合，然而考生由于缺乏方法归纳，概念理解欠缺，令
考生望而却步.本文以 2020 届四川省南充市 4月7日南充二诊为例，分析解剖，归纳总结，
以供读者参考.
方法归纳：
①对数函数切线放缩“
x−1≥ln x
”;
②齐次换元，“
t=x1
x2
”构造函数.
③消元化简，构造函数
1.（2020 南充二诊数学第 12 题）已知函数
f(x)=x+ex−a
，
g(x)=ln(x+2)−4ea−x
，其
中
e
为自然对数的底数，若存在实数
x0
，使得
f(x0)−g(x0)=3
成立，则实数
的值为（
）
A.
−1+ln 2
B.
−1−ln 2
C.
ln 2
D.
−ln 2
①对数函数切线放缩“
x−1≥ln x
”;
解析： f(x0)−g(x0)=3⇒x0+ex0−a−ln (x0+2)+4ea−x0=3
.
⇒ln(x0+2)−x0+3=ex0−a+4ea−x0¿2
√
ex0−a¿4ea−x0=4⇒ln (x0+2)≥x0+1=( x0+2)−1
当且仅当
ex0−a=4ea−x0=2
时，取等号.
由
t−1≥lnt
，易得
(x0+2)−1≥ln (x0+2)
，
故
(x0+2)−1=ln (x0+2)
，
(x0+2)=1
，又
ex0−a=4ea−x0=2
，则
a=−1−ln 2
.
综上：选择
B.
【评析】本题主要考查
t−1≥lnt
，结合均值不等式，注意“一正二定三相等”，联系夹挤
定理，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.
变式：（2020 河南高三文）已知函数
（1）证明： ；
（2）设 为整数，且对于任意正整数 ， ，求 的最小值.
解析:，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
的最小值为 ，所以
由 知当 时， ，
即 ，即 ，
令 得
从而
故 ，而
所以 的最小值为 .
【评析】本题考查了利用导数证明不等式、放缩法证明不等式、对数运算的性质 .本题源于
2017 年全国卷三理数改编，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.
2.(2020 年南充二诊第 21 题)已知函数
f(x)= 1
2x2+mx+ln x
.
(1)若函数
f(x)
不存在单调递减区间，求实数
m
的取值范围；
(2)若
f(x)
有两个极值点
x1
，
x2
，(
x1<x2
)，且
m≤− 3
√
2
2
，求
f(x1)−f(x2)
的最小值.
②齐次换元，“
t=x1
x2
”构造函数.
【解析】(1)
f'(x)=x+m+1
x=x2+mx +1
x
(x>0)
.
设
g(x)=x2+mx+1
，
①若
Δ=m2−4≤0
，即
−2≤m≤2
，则
g(x)≥0
恒成立，
f'(x)≥0
恒成立，符合题意.
②若
Δ=m2−4>0
，即
m<−2
或
m>2
.
当
m>2
时，
g(x)=x2+mx+1=0
有两个不相等负根，符合题意.
当
m<−2
时，
g(x)=x2+mx+1=0
有两个不相等正根，则在两根之间函数
f(x)
单调递
减，不符合题意.
综上：
m∈[−2,+∞)
.
(2) 由题意得
x1
，
x2
为
g(x)=x2+mx+1=0
的两个零点，由(1)得
{
Δ>0¿
{
m≤−3
√
2
2¿
{
x1+x2=−m¿¿¿¿
故
f(x1)−f(x2)=1
2(x1
2−x2
2)+m(x1−x2)+ln x1
x2
=ln x1
x2
−1
2(x1
2−x2
2)=ln x1
x2
−1
2
(x1
2−x2
2)
x1
⋅x2
设
t=x1
x2
，由
x1<x2
且
{
m2=(x1+x2)2
x1
⋅x2
=t+1
t+2≥9
2¿¿¿¿
得
0<t≤1
2
，则
f(x1)−f(x2)=ln t−1
2(t−1
t)=ϕ(t)
得
ϕ'(t)=−(t−1)2
2t2<0
.
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