专题01 直线与圆相结合问题（解析版）

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第五篇解析几何

专题 01 直线与圆相结合问题

类型对应典例

圆的切线问题典例 1

直线与圆的取值范围问题典例 2

直线与圆的位置关系典例 3

【典例 1】【2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期末】已知直线被圆

所截得的弦长为，且为圆上任意一点．

（1）求；

（2）求圆的斜率为 1的切线方程．

【思路引导】（1）根据题意，由直线与圆的位置关系得出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，

列出方程，即可求解；

（2）设出圆 C的斜率为 1的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列出方程，求得的值，

即可求解.

【解析】（1）由题意，圆，可得圆心，半径，

若直线被圆所截得的弦长为，

由圆的弦长公式可得，即，解得，

即圆心到直线的距离为，解得或，

因为，所以 .

（2）设圆的斜率为 1的切线方程为，即，

由圆心到切线的距离等于半径，可得，

解得或，

所以切线方程为或 .

【典例 2】【江苏省 2019 届高三第二学期联合调研测试】在平面直角坐标系中，过点且互相垂

直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，．

（1）若，求的长；

（2）若中点为，求面积的取值范围．

【思路引导】

（1）先由 AB 的长度求出圆心 O到直线 AB 的距离，列方程求出直线 AB 的斜率，从而得到直线 CD 的斜

率，写出直线 CD 的方程，用垂径定理求 CD 得长度；（2）△ABE 的面积，先考虑直线

AB、CD 平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出 AB，再在△PME 中用勾股定理求出 PE，将面

积S表示成直线 AB 斜率 k的函数式，再求其范围.

解：（1）因为 AB＝，圆 O半径为 2

所以点 O到直线 AB 的距离为

显然 AB、CD 都不平行于坐标轴

可设 AB：，即

则点 O到直线 AB 的距离，解得

因为 AB⊥CD，所以

所以 CD：，即

点M（2,1）到直线 CD 的距离

所以

（2）当 AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时 AB=4，点 E与点 M重合，PM=2，所以△ABE 的面积 S=4

当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍

当AB 与CD 都不平行于坐标轴时

由（1）知

因为，所以

因为点 E是CD 中点，所以 ME⊥CD，

所以

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