专题01 三角函数中的性质问题 （原卷版）

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第一篇 三角函数与解三角形
专题 01 三角函数的性质问题
类型 对应典例 难度等级
求三角函数的单调区间 典例 1☆
求三角函数的最值、值域 典例 2☆☆
已知三角函数的最值求参数范围 典例 3☆☆☆
求三角函数的定义域 典例 4☆
判断三角函数的奇偶性 典例 5☆☆
求解三角函数的零点 典例 6☆☆☆
求解三角函数的周期 典例 7☆☆
三角函数的性质与不等式相结合 典例 8☆☆☆
【典例 1】【江西省赣州市南康中学 2019-2020 学年 12 月月考】
已知函数
（1）求函数 的最小正周期 T和单调递增区间；
（2）若 ，且关于 x的函数 的最小值为 ，求 的值
1
【题后反思】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意
换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．
【典例 2】【北京市西城区 2019-2020 学年高三上学期期末数学试题】
已知函数
（1）求函数 的最小正周期;
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.
【分析】
（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成
的形式，即可求出函数 的最小正周期.
（2）由 ，求出 ，再根据 的单调性可求出函数 的最
大最小值．
【题后反思】
本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，
意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．
【典例 3】
【北京市海淀区 2019-2020 学年高三上学期期末数学试题】
2
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数 的解析式变形为 ，然
后解不等式 ，即可得出函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）由 ， ，结合题意得出 ，即可求出实数 的最小值.
【典例 4】已知函数 ；
（1）求 的定义域与最小正周期；
（2）求 在区间 上的单调性与最值.
3
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