专题01 三角函数的性质问题（解析版）

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第一篇 三角函数与解三角形
专题 01 三角函数的性质问题
类型 对应典例 难度等级
求三角函数的单调区间 典例 1☆
求三角函数的最值、值域 典例 2☆☆
已知三角函数的最值求参数范围 典例 3☆☆☆
求三角函数的定义域 典例 4☆
判断三角函数的奇偶性 典例 5☆☆
求解三角函数的零点 典例 6☆☆☆
求解三角函数的周期 典例 7☆☆
三角函数的性质与不等式相结合 典例 8☆☆☆
【典例 1】【2021·佛山一中模拟】
已知 ．
（1）若函数 的最小正周期为 ，求 的值及 的单调递增区间；
（2）若 时，方程 恰好有两个解，求实数 的取值范围．
【解析】（1）
，
因为最小正周期 ，又 ，
所以 ，即 ，
1
所以令 ，解得 ， ，
所以 的单调递增区间为： ， ， ．
（2）因为 时， ， ， 恰好有两个解，即 恰
好有两个解，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
【典例 2】【2021·上海松江区·高三一模】已知函数 .
（1）求 的最小正周期和值域；
（2）若对任意 ， 的恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）
∴的为最小正周期 ，值域为 ；
（2）记 ，则 ，由 恒成立，
知 恒成立，即 恒成立，
∵ ∴ .
2
∵在 时单调递增
∴k的取值范围是
【典例 3】
【北京市海淀区 2019-2020 学年高三上学期期末数学试题】
已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【分析】
（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数 的解析式变形为 ，然
后解不等式 ，即可得出函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）由 ， ，结合题意得出 ，即可求出实数 的最小值.
【解析】
（Ⅰ） ，
因为 的单调递增区间为 ，
令 ，得 .
3
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