专题01 利用样本估计总体与概率相结合（解析版）

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第四篇 概率与统计
专题 01 利用样本估计总体与概率相结合
类型 对应典例
以离散型数据为背景考查数据统计的相关概念 典例 1
以频率分布直方图为背景考查统计的相关概念 典例 2
以茎叶图为背景考查统计的相关概念 典例 3
以频率分布表为背景考查统计的相关概念 典例 4
以频率分布直方图为背景考查统计和正态分布综合 典例 5
以频率分布直方图为背景考查概率期望等综合问题 典例 6
【典例 1】【2021·辽宁高三二模】
新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足，
设计了一份调查问卷，满分 100 分，随机发给 100 名男性居民和 100 名女性居民，分数统计如下：
100 位男性居民评分频数分布表
分组 频数
3
12
72
8
5
合计 100
100 位女性居民评分频数分布表
分组 频数
5
15
64
1
7
9
合计 100
（Ⅰ）求这 100 位男性居民评分的均值 和方差 ；
（Ⅱ）已知男性居民评分 服从正态分布 ， 用 表示， 用 表示，求
；
（Ⅲ）若规定评分小于 70 分为不满意，评分大于等于 70 分为满意，能否有 99%的把握认为居民是否满意
与性别有关?
附： ， ， ，
.
参考公式 ， .
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.204 6.635 7.879 10.828
【思路引导】（Ⅰ）根据频率分布表数据，直接计算求均值 和方差 即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，即可求 ，又 ，结合
正态分布的对称性及已知信息求值即可；
（Ⅲ）根据频率分布表得到列联表，应用卡方检验公式求 k值，比照参考值确定是否有 99%的把握认为居
民是否满意与性别有关.
【解析】（Ⅰ）由频率分布表可知：
2
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，则 ，
.
为0.8186
（Ⅲ）由已知条件可得： 列联表如下：
满意 不满意 合计
男性 85 15 100
女性 80 20 100
合计 165 35 200
，
，
没有 99%的把握认为是否满意与性别有关.
【典例 2】【2021 河北省邯郸市大名府高三模拟考试】
插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，与建筑 盆景 造园等艺术形式相似，是､ ､
最优美的空间造型艺术之一.为了通过插花艺术激发学生对美的追求，增添生活乐趣，提高学生保护环境的
意识，增加团队凝聚力，某高校举办了以“魅力校园 花香溢校园”为主题的校园插花比赛､.比赛按照百分
制的评分标准进行评分，评委由 名专业教师､名非专业教师以及 名学生会代表组成，各参赛小组
的最后得分为评委所打分数的平均分.比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插
花作品所得分数的频数分布表，如下所示：
3
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