新高考数学之立体几何综合讲义第16讲 立体几何作图问题（解析版）

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第16 讲 立体几何作图问题
一．解答题（共 15 小题）
1．如图，三棱柱 的各棱长均相等， 底面 ， ， 分别为棱 ， 的中点．
（1）过 作平面 ，使得直线 平面 ，若平面 与直线 交于点 ，指出点 所在的位置，
并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值．
【解答】解：（1）如图所示，平面 即为平面 ， 点为线段 的中点．（2分）
理由如下：
因为直线 平面 ，平面 平面 ，直线 平面 ，
所以直线 直线 ，又 直线 ，
所以四边形 是平行四边形，则 ，
即 点为 的中点．（4分）
（2）如图，取 的中点 ，由题意 ， ， 两两互相垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系 如图所示．
不妨设棱长为 2，则 ，1， ， ，2， ，
1
则 ， ，
设面 的法向量 ， ， ，
则由 得
令 ，得 ．
取平面 的一个法向量 ，0， ，
于是 ．
所以二面角 的余弦值为 ．（12 分）
2．如图，三棱柱 中， ， ， ， ， 分别为棱 ，
的中点．
（1）在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）若侧面 侧面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
2
【解答】解：（1）取 中点 ，连接 ，则 ，
连接 ，取 中点 ，连接 ，则 ，
，即 ， ， ， 四点共面，
连接 交 于 ，连接 ，则 ， ， ， 四点共面，
过 作 交 于 ，即为所求．
（2）作 平面 ，与 延长线交于 ，则 ， ，
， ，
， ，
，
，
，
作 ，则直线 与平面 所成角 直线 与平面 所成角，
， ，
3
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