考点32 直线、平面垂直的判定及其性质-备战2021年浙江新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 32 直线、平面垂直的判定及其性质

【命题解读】

1.理解以下判定定理：①如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

② 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.

2.理解以下性质定理，并能够证明：①垂直于同一个平面的两条直线平行.

② 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.

3.理解直线与平面所成角、二面角的概念.

【命题预测】

1.考查向量平行的坐标表示方法，涉及向量的坐标计算，主要为基础题；

2.考查平面向量的线性运算以及基底向量的用法，需要根据题意确定基底向量，多为.基础题；

3.考查平面向量的线性运算和共线定理的应用；

4.预计 2021 年高考中，仍会对本节内容进行重点考查.

【复习建议】

一、直线与平面垂直

1．定义

如果直线 l与平面 α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l与平面 α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示

如下：

【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．

2．直线与平面垂直的判定定理

文字语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

简记为：线线垂直⇒线面垂直

图形语言

符号语言 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，⇒l⊥α

作用判断直线与平面垂直

【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交直

线垂直，而不是任意的两条直线.

3．直线与平面垂直的性质定理

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线平行.

简记为：线面垂直⇒线线平行

图形语言

符号语言

⇒

作用

① 证明两直线平行；

② 构造平行线.[来源:学#科#网Z#X#X#K]

4．直线与平面所成的角

（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和

平面的交点叫做斜足．

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，

我们说它们所成的角等于 .因此，直线与平面所成的角 α的范围是 .

5．常用结论（熟记）

（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线．

（3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

（4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

二、平面与平面垂直

1．定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面 α与平面 β垂直，

记作 .图形表示如下：

2．平面与平面垂直的判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

简记为：线面垂直⇒面面垂直

图形语言

符号语言

l⊥α，⇒α⊥β

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