考点29 空间向量解决空间直线、平面位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

3.0 envi 2025-02-13 17 4 975.83KB 20 页 3知币
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考点 29 空间向量解决空间
直线、平面位置关系
【命题解读】
空间中直线、平面的位置关系，可以借用空间向量这一工具来解决，空间向量的运用
使得空间立体几何问题转化为了计算问题，把几何问题转化为了代数的计算，因此在复习
过程中既要要求学生的空间思维能力又要要求学生学会数学转化思想。
【命题预测】
预计 2021 年的高考对于空间直线、平面的位置关系的考察还是一个必考题，充分运用
空间向量让立体几何问题转化为数学的代数计算问题。
【复习建议】
1.掌握空间向量的有关知识点，及空间向量解决空间直线、平面位置关系的有关定理.
2.能运用结论解决空间直线、平面的位置关系问题。
考向一　空间共线、共面向量定理
1. 共线向量定理：对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存在 λ∈R,使a=λb
2. 共面向量定理：若两个向量 a,b不共线,则向量 p与向量 a,b共面⇔存在唯一的有序实数对
(x,y),使p=xa+yb
3. 空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组
{x,y,z},使得 p= xa+yb+zc
1
1.【2019 江苏鼓楼南京师大附中高二期中】已知空间三点坐标分别为 ， ，
，点 在平面 ABC 内，则实数 x的值为（ ）
A．1 B．C．0 D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ， ，
因为空间三点坐标分别为 ， ， ，点 在平面
ABC 内
所以设 ，
则有 .
解得
故选：A
2. 【2020 上海高二课时练习】已知直线 和 不重合， 分别是 的方向向量，则
是 的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】因为直线 和 不重合，
所以 可以推出 ，而 只能推出 与 共线，不一定相等，
2
所以 是 的充分非必要条件.
故选：A.
考向二 利用空间向量证明平行与垂直
a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
1. a∥b⇒ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
2. a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
1. 【2020 绥德中学高二期末（理）】已知向量 ， ，分别是直
线 、 的方向向量，若 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】∵ ∥ ，
∴ ∥ ，
∴ ，
∴ ．选 D．
2.【2019 浙江南湖嘉兴一中高二期中】如图，正方体 的棱长为 1， 为
的中点， 在侧面 上，有下列四个命题：
① 若 ，则 面积的最小值为 ；
② 平面 内存在与 平行的直线；
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