考点28 空间向量的概念及运算-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 28 空间向量的概念及
运算
【命题解读】
空间向量是历年高考中经常出现的知识点，尤其是新课改以后，空间向量作为新高考
书目的一章来讲解，更加突出了它的重要性，空间向量的考察往往是作为一种工具来运算
因此在立体几何中经常用到它，复习中注意它的概念和运算。
【命题预测】
预计 2021 年的高考空间向量还是会出题，这部分单独出题的可能性不大，结合立体结
合出题难度还是以中档题为主。
【复习建议】
1.了解空间向量的概念及运算.
2.会运用空间向量的运算解决一些计算。
考向一　空间向量的有关概念
1.空间向量的概念：在空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量．空间向量的大小
称为向量的长度或模.空间向量一般用字母 a，b，c…表示。
2. 共线向量(平行向量)：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合.
3. 共面向量：平行于同一平面的向量
4. 共线向量定理：对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b⇔存在 λ∈R,使a=λb
5. 共面向量定理：若两个向量 a,b不共线,则向量 p与向量 a,b共面⇔存在唯一的有序实数对
(x,y),使p=xa+yb
6. 空间向量基本定理：如果三个向量 a,b,c不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组
1
{x,y,z},使得 p= xa+yb+zc
1. 【2020 陕西富平高二期末（理）】若直线 l的方向向量为 ，平面 的法向
量为 ，则直线 l与平面 的位置关系是（ ）
A．B．C．D．l与 斜交
【答案】B
【解析】由题得， ，则 ，又 是平面 的法向量， 是直线 l的方向向量，
可得 .
故选：B
2. 【2019 甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（理）】若平面 ， 的法向量分别为
， ，则( )
A．B． 与 相交但不垂直
C．D． 或 与 重合
【答案】A
【解析】因为平面 ， 的法向量分别为 ，
即 ，所以
所以
故选：A
2
考向二 空间向量的运算
1.空间向量的数量积
(1)a·b=|a||b|cos<a,b>
(2)a⊥b⇔ a·b=0 (a,b为非零向量).
(3)|a|2= a2;设a=(x,y,z),则|a|=
√
x2+y2+z2
.
2.空间向量的坐标运算
a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
（1）a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
（2）a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
（3）a·b= a1b1+a2b2+a3b3
（4）a∥b⇒ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
（5）a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
（6）cos<a,b>=
a1b1+a2b2+a3b3
√
a1
2+a2
2+a3
2
√
b1
2+b2
2+b3
2
1. 【2019 江西高安中学高二期末】在空间直角坐标系中，已知 ，
，则点 B的坐标是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设 ， ，
则 ，
而 ，
3
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