考点23 数系的扩充及复数的运算-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过

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考点 23 数系的扩充及复数

的运算

【命题解读】

复数是高考必考的知识点之一，每年的高考都出关于复数的一个选择题，主要是针对

复数的几何意义和复数的四则运算，以基础题目为主，是高考容易得分的一个知识点。

【命题预测】

预计 2021 年的高考复数的考察还是以基础题为主，主要还是集中在复数的几何意义和

四则运算上，稍加注意得分不难。

【复习建议】

1.理解复数的有关概念和几何意义；

2.掌握复数的代数运算。

考向一　复数的有关概念及几何意义

1.复数的有关概念

(1)复数的概念

形如 a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中 a,b分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若

b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且 b≠0,则a+bi为纯虚数.

(2)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c 且b=d (a,b,c,d∈R).

(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔

a=c 且b=-d (a,b,c,d∈R).

(4)复数的模:向量

⃗

=(a,b)的模 r叫作复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|

√

a2+b2

.

2.复数的几何意义

(1)复数 z=a+bi(a,b∈R)← 复平面内的点 Z(a,b).

(2)复数 z=a+bi(a,b∈R)← 平面向量

⃗

=(a,b) (O为坐标原点).

1. 【2020 山东潍坊高三二模】若复数在复平面内对应的点在第二象限内，则实

数a的值可以是（　　）

A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2

【答案】B

【解析】∵

又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，

∴ ，得﹣1＜a＜1．

∴实数 a的值可以是 0．

故选：B．

2.【2019 山东高考模拟（理）】已知复数（为虚数单位）在复平面内对

应的点在直线上，则实数的值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】因为，对应的点为，因为点在直线

上，所以，解得 . 故选 D.

考向二复数的代数运算

1. 复数的加、减、乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i;

减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i;

乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i;

除法:

a+b i

c+d i

(a+b i )(c-d i )

(c+d i )( c-d i )

ac+bd

c2+d2

bc -ad

c2+d2

i (c+di≠0).

(2)复数加法的运算律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).

1. 【2020 河南省名校联盟高三质量检测】已知复数 z1( 为虚数单位，a∈R)为纯

虚数，则实数 a=

A．B．C．0 D．2

【答案】B

【解析】∵z为纯虚数，∴ ，解得

故选 B．

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