考点20 数列的概念与简单表示法-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点一遍过

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考点 20 数列的概念与简

单表示法

【命题趋势】

高考常考查数列的表示方法，在这一块要熟练掌握几种求数列通项的方法.具体要求是：

（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.

（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数.

【重要考向】

一、已知数列的前几项求通项公式

二、利用与的关系求通项公式

三、由递推关系式求通项公式

四、数列的性质

已知数列的前几项求通项公式

1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联

想(联想常见的数列)等方法．

具体策略：

① 分式中分子、分母的特征；

② 相邻项的变化特征；

③ 拆项后的特征；

④ 各项的符号特征和绝对值特征；

⑤ 化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；

⑥ 对于符号交替出现的情况，可用或处理．

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”

的思想.

2．常见的数列的通项公式：

（1）数列 1，2，3，4，…的通项公式为；

（2）数列 2，4，6，8，…的通项公式为；

（3）数列 1，4，9，16，…的通项公式为；

（4）数列 1，2，4，8，…的通项公式为；

（5）数列 1，，，，…的通项公式为；

（6）数列，，，，…的通项公式为．

3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，

其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．

【巧学妙记】

【典例】

1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1)，，，，，…；

(2)－1，7，－13，19，…；

(3)，2，，8，，…；

(4)5，55，555，5 555，….

解　 (1) 这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为

1×3 ，3×5 ，5×7 ，7×9 ，9×11 ，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为

2，4，6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为 an＝.

(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项

的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，故数列的一个通项公式为

an＝(－1)n(6n－5)．

(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．

即，，，，，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为 an＝.

(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列 9，99，999，…的通项为 10n－1，故所

求的数列的一个通项公式为 an＝(10n－1)．

2.数列－，，－，，…的一个通项公式 an＝ .

【答案】　(－1)n

【解析】　这个数列前 4项的绝对值都等于序号与序号加 1的积的倒数，且奇数项为负，

偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an＝(－1)n.

3.数列{an}的前 4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是 an＝ .

【答案】　

【解析】　数列{an}的前 4项可变形为，，，，故 an＝.

利用与的关系求通项公式

已知求的一般步骤：

（1）先利用求出；

（2）用替换中的 n得到一个新的关系，利用便可求出当

时的表达式；

（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把

数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写.

利用求通项公式时，务必要注意这一限制条件，所以在求出结

果后，要看看这两种情况能否整合在一起．

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