《高一物理必修2》6.5 宇宙航行 专题4：天体的追及相遇问题 同步专项练习

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专题 4：天体的追及相遇问题
在天体运动的问题中，我们常遇到一些这样的问题。比如，A、B 两物
体都绕同一中心天体做圆周运动，某时刻 A、B 相距最近，问 A、B 下一次相
距最近或最远需要多少时间，或“至少”需要多少时间等问题。
而对于此类问题的解决和我们在直线运动中同一轨道上的追及相遇问
题在思维有上一些相似的地方，即必须找出各相关物理量间的关系，但它
也有其自身特点。
根据万有引力提供向心力，即当天体速度增加或减少时，对应的圆周
轨道就会发生相应的变化，所以天体不可能在同一轨道上 实现真正意义上
的追及或相遇。天体运动的追及相遇问题中往往还因伴随着多解问题而变
得更加复杂，成为同学们学习中的难点。而解决此类问题的关键是就要找
好角度、角速度和时间等物理量的关系。
绕同一中心天体运动的运行天体，由于
ω=
√
GM
r3∝
√
1
r3
，故在同一轨
道上不可能发生相遇，只有在不同轨道上的运行天体才能发生追赶现象，
相遇时是指运行天体相距最近的现象。　
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，
a
卫星的角速
度为
ωa
，
b
卫星的角速度为
ωb
，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点
正上方，相距最近(如图甲所示)。当它们转过的角度之差 Δ
θ
＝π，即满
足
ωa
Δ
t
－
ωb
Δ
t
＝π 时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。
当它们转过的角度之差 Δ
θ
＝2π，即满足
ωa
Δ
t
－
ωb
Δ
t
＝2π 时，两卫
星再次相距最近。
经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。
1. 两星相距最远的条件：
ωa
Δ
t
－
ωb
Δ
t
＝(2
n
＋1)π(
n
＝0,1,2，…)
2. 两星相距最近的条件：
ωa
Δ
t
－
ωb
Δ
t
＝2
n
π(
n
＝1,2,3…)
3. 常用结论
（1）同方向绕行的两天体转过的角度
|θ1−θ2|=2nπ
或
|t
T1
−t
T2
|=n
（n=0、1、2、……）时表明两物体相距最近。
（2）反方向转动的天体转过的角度
|θ1+θ2|=2nπ
或
|t
T1
+t
T2
|=n
（n=0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近。
（3）轨道平面不重合时，两天体只有在同 一时刻位于中心天体同一侧的 同
一直线上时发生相遇。
一、追及问题
【例题 1】如图 1 所示，有
A
、
B
两颗行星绕同一颗恒星
M
做圆周运动，旋转
方向相同，
A
行星的周期为
T
1，
B
行星的周期为
T
2，在某一时刻两行星相距
最近，则
① 经过多长时间，两行星再次相距最近？
② 经过多长时间，两行星第一次相距最远？
解 析 ：
A
、
B
两 颗 行 星 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 由 万 有 引 力 提 供 向 心 力
，因此
T
1<
T
2。可见当
A
运动完一周时，
B
还没有达到一周，但是要它们的相距最近，只有
A
、
B
行星和恒星
M
的连线
再次在一条直线上，且
A
、
B
在同侧，从角度上看，在相同时间内，
A
比
B
多转了 2π；如果
A
、
B
在异侧，则它们相距最远，从角度上看，在相同时
间 内 ，
A
比
B
多 转 了 π 。 所 以 再 次 相 距 最 近 的 时 间
t
1， 由
视角
太阳
行星
地球
图2
太阳
行星
地球
图3
θθ
； 第 一 次 相 距 最 远 的 时 间
t
2， 由
。如果在问题中把“再次”或“第一次”
这样的词去掉，那么就变成了多解性问题。
【例题 2】如图 2，地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周
运动。地球的轨道半径为 R，运转周期为 T。地球和太阳中心的连线与地球
和行星的连线的夹角叫地球对行星的观察视角（简称视角）。已知该行星
的最大视角为 θ，当行星处于最大视角处时，是地球上天文爱好者观察该
行星的最佳时期。若某时刻该行星正好处于最佳观察期，问该行星下一次
处于最佳观察期至少需经历多长时间？
解析：由题意可得行星的轨道半径
设行星绕太阳的运行周期为
T
/，由开普勒大三定律有：
R3
T2=r3
T¿
，得：
T'=T
√
sin3θ
绕向相同，行星的角速度比地球大，行星相对地球
Δω=2π
T'−2π
T=2π(1−
√
sin3θ)
T
√
sin3θ
某时刻该行星正好处于最佳观察期，有两种情
况：一是刚看到；二是马上看不到,如图 3 所示。到
下一次处于最佳观察期至少需经历时间分别为
两者都顺时针运转：
t1=π−2θ
Δω =(π−2θ)
√
sin3θ
2π(1−
√
sin 3θ)⋅T
两者都逆时针运转：
t2=π+2θ
Δω =(π+2θ)
√
sin3θ
2π(1−
√
sin3θ)⋅T
二、相遇问题
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