《2022年小升初数学无忧衔接（通用版）》专题19 绝对值压轴题 专项讲练（解析版）

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专题 19 绝对值压轴题专项讲练
——绝对值的化简与最值问题
1.绝对值化简分为已知范围的绝对值化简与无范围的绝对值化简两类，属于重难点题型，考卷中
会经常出现它的身影，且易错，属于必掌握类型。该类题型方法固定，通过这份资料可以做到一
份资料掌握一类题。
2.最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值
情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
1.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即
|a|=a
； ② 0的绝对值是 0，即
|0|=0
；③负数
的绝对值是它的相反数，即
|a|=−a
；④绝对值具有非负性，即
|a|≥0
。
2.已知范围的绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；
两数相减：
大的数—小的数＞0，转化到数轴上：右—左＞0；
小的数—大的数＜0，转化到数轴上：左—右＜0.
两数相加：
正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；
负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；
正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号.
②将绝对值符号改为小括号：
若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；
若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.
③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变
号.
④化简.
3. 目的是在数轴上找一点 x，使 x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（
x
的取值范
围）
图示
|x−a|+|x−b|
取值情况
当
时无法确定
当
a≤x≤b
时
|x−a|+|x−b|
的值为定值，即为
|a−b|
当
x>b
无法确定
结论：式子
|x−a|+|x−b|
在
a≤x≤b
时，取得最小值为
|a−b|
。
4. 目的是在数轴上找一点 x，使 x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（
x
的取值范
围） 图示
|x−a|−|x−b|
取值情况
当
时
|x−a|−|x−b|
的值为定值，即为
—
|a−b|
当
a≤x≤b
时
−|a−b|≤|x−a|−|x−b|≤|a−b|
当
x>b
|x−a|−|x−b|
的值为定值，即为
|a−b|
结论：式子
|x−a|−|x−b|
在
x≤a
时，取得最小值为
−|a−b|
；在
x≥b
时，取得最大值
|a−b|
。
5.最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
若已知
a<b
，
|x−a|+|x−b|
的最小值为
b−a
，且数
x
的点在数
a
，
b
的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
若已知
a<b<c
，
|x−a|+|x−b|+|x−c|
的最小值为
c−a
，且数
x
的点与数
b
的点重合；
③当有
2n+1
（奇数）个绝对值相加：
|x−a1
|+|x−a2
|+……+|x−a2n
|+|x−a2n+1
|
，且
a1<a2<……<a2n<a2n+1
，则
x
取中间数，
即当
x=an+1
时，
|x−a1
|+|x−a2
|+……+|x−a2n
|+|x−a2n+1
|
取得最小值为
(
a2n+1−a1
)
+
(
a2n−a2
)
+……+
(
an+2−an
)
+0
；
④当有
2n
（偶数）个绝对值相加：
|x−a1
|+|x−a2
|+……+|x−a2n−1
|+|x−a2n
|
，且
a1<a2<……<a2n−1<a2n
，则
x
取中间段，
即当
an≤x≤an+1
时，
|x−a1
|+|x−a2
|+……+|x−a2n−1
|+|x−a2n
|
取得最小值为
(
a2n−a1
)
+
(
a2n−1−a2
)
+……+
(
an−2−an−1
)
+
(
an+1−an
)
。
【题型一】 绝对值的化简
【典题 1】（2022·湖南长沙·七年级期末）有理数 a、b、c在数轴上位置如图，则
的值为（ÇÇÇÇÇÇÇ）．
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