《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第27讲 导数斜率型问题（解析版）

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第27 讲 导数斜率型问题
1．函数 ，其中 ．
（Ⅰ）试讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）已知当 （其中 是自然对数的底数）时，在 上至少存在一点 ，使
成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）求证：当 时，对任意 ， ， ，有 ．
【解答】解：（Ⅰ） ，
；
①当 ，即 时， ，
故 在 ， 上是增函数；
②当 ，即 时，
故 在 ， ， 上是增函数；
在 ， 上是减函数；
③当 时，
在 ， ， ， 上是增函数；
在 上是减函数；
（Ⅱ） ，
，
故在 上至少存在一点 ，使 成立可化为
，
即 ，
故 ；
（Ⅲ）证明：当 时，
在 上是减函数，
在 ， 上是增函数，
且 ， （1） ；
故 ，任意 ，
而由导数的定义可得，
对任意 ， ， ，有 ．
2．已知函数 在点 ， （1） 处的切线与 轴平行．
（1）求实数 的值及 的极值；
（2）若对任意 ， ， ，有 ，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 函数 ，
，
令 （1） ，
，
解得 ；
令 ，则 ，
解得 ，
即 有极小值为 （1） ；（6分）
（2）由 ，可得 ，
令 ，则 ，其中 ， ，
，又 ， ，则 ，
即 ，
因此实数 的取值范围是 ， ．（12 分）
3．已知函数 ．
（1）若在区间 ， 上同时存在函数 的极值点和零点，求实数 的取值范围．
（2）如果对任意 、 ， ，有 ，求实数 的取值范围．
【解答】（1）函数 的定义域为 ，
； ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，则极大值为 （1） ，
当 时， ； 当 时， ，
由 ，得 在区间 上存在唯一零点，则函数 的图象大致如下图所示
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