2018年高考数学(理科)知识点与方法大全PDF

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2018 年高考理科数学知识与方法大全·第 1 页 (共 64 页)
一、集合与简易逻辑、不等式
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若 a属于集合 A，记作 a∈A；若 b不属于集合 A，记作 b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
2．常用数集及记法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
3.集合间的基本关系
表示
关系 文字语言 记法
子集 集合 A中任意一个元素都是集合 B中的元素 A⊆B或B⊇A
真子集 集合 A是集合 B的子集，并且 B中至少有一
个元素不属于 A
A
B或B
A
集合
间的
基本
关系 相等 集合 A的每一个元素都是集合 B的元素，集
合B的每一个元素也都是集合 A的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集是任何集合的子集
⊆A
空集 空集是任何非空集合的真子集
B且B≠
集合子集个数的判定
含有 n个元素的集合，其子集的个数为 2n；真子集的个数为 2n－1(除集合本身)；非空真子集的个数为
2n－2(除空集和集合本身，此时 n≥1).
(1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．
4．集合的三种基本运算
符号表示 图形表示 符号语言
集合的
并集 A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或 x∈B}
集合的
交集 A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且 x∈B}
集合的
补集
若全集为 U，则集合 A的补
集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}
5.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A＝A，A∩
＝
，A∪A＝A，A∪
＝A.
(2)A∩∁UA＝
，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝
.
6．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判
断为假的语句叫做假命题．
7．四种命题及相互关系
8．四种命题的真假关系
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(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.
判断命题真假的思路方法
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，
则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．
(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则 q”的形式之后，判断这
个命题真假的方法：
①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则 q”是真命题；
②判定“若p，则 q”是假命题，只需举一反例即可．
写一个命题的其他三种命题时的注意事项
(1)对于不是“若p，则 q”形式的命题，需先改写为“若p，则 q”形式．
(2)若命题有大前提，需保留大前提．
判断四种命题真假的方法
(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．
(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．
9．充分条件与必要条件的概念
若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/ p
p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p
p是q的充要条件 p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/ q且q⇒/ p
10.充分条件与必要条件和集合的关系
p成立的对象构成的集合为 A，q成立的对象构成的集合为 B
p是q的充分条件 A⊆B
p是q的必要条件 B⊆A
p是q的充分不必要条件 A
B
p是q的必要不充分条件 B
A
p是q的充要条件 A＝B
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据 p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据 p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这
个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x
＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
11.命题 p∧q、p∨q、
p的真假判定
p q p∧q p∨q
p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；
p与p真假相反”．
判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出
现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．
(2)判断命题真假的步骤
根据复合命题真假求参数的步骤
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
2018 年高考理科数学知识与方法大全·第 3 页 (共 64 页)
(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围
12．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃
13.全称命题和特称命题
名称
形式 全称命题 特称命题
结构 对M中的任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M中的一个 x0，使 p(x0)成
立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
否定 ∃x0∈M，
p(x0) ∀x∈M，p(x)
对全(特)称命题进行否定的方法
全(特)称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时：
(1)改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；
(2)否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．
[提醒] 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命
题的否定．
全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合 M中的每一个元素 x，证明 p(x)成立．
②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合 M中的一个特殊值 x＝x0，使 p(x0)不成立即可．
(2)特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合 M中，找到一个 x＝x0，使 p(x0)成立即可，否则这
一特称命题就是假命题．
14．比较两个实数大小的方法
(1)作差法
a－b>0⇔a>ba，b∈R，
a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，
a－b<0⇔a<ba，b∈R.
(2)作商法
a
b>1⇔a>ba∈R，b>0，
a
b＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
a
b<1⇔a<ba∈R，b>0.
15．不等式的基本性质
性质 性质内容 特别提醒
对称性 a>b⇔b<a ⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒
可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔
a>b
c>0 ⇒ac>bc
可乘性
a>b
c<0 ⇒ac<bc
注意 c的符号
同向可加性
a>b
c>d⇒a＋c>b＋d ⇒
同向同正可乘性
a>b>0
c>d>0 ⇒ac>bd>0 ⇒
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数
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