-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题06 函数的奇偶性及周期性(提升训练)(解析版)

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专题 06 函数的奇偶性及周期性
1.函数 f(x)=
1
x
- x 的图像关于(
　　
)
　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.y轴对称 B.直线 y=-x 对称
C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称
答案 C
解析
∵
f(-x)=-
1
x
+x=-
(
1
x-x
)
=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),[来源:学科网]
∴
f(x)为奇函数.
∴
f(x)的图像关于坐标原点对称.[
来源
:
学科网
ZXXK]
2.(2019 北京怀柔模拟,6)若函数 f(x)=2x-2-x,则f(x)(
　　
)
A.是奇函数,且在 R上是增函数
B.是偶函数,且在 R上是增函数
C.是奇函数,且在 R上是减函数[来源:学科网 ZXXK]
D.是偶函数,且在 R上是减函数
答案 A
解析
∵
x∈R,f(-x)=2-x-2x=-f(x),
∴
函数 f(x)为奇函数;
∵
f(x)=2x-2-x=2x-
1
2x
,而y=2x是R上的增函数,y=-
1
2x
也是 R上的增函数,
∴
f(x)=2x-2-x 在R上是增函数.故
选A.
3.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)内是增加的,则满足 f(2x-1)<f
(
1
3
)
的x的取值范围是(
　　
)
A
.
(
1
3,2
3
)
B
.
[
1
3,2
3
)
C
D
.
[
1
2,2
3
)
答案 A
解析由于函数 f(x)在区间[0,+∞)内是增加的,且f(x)为偶函数,则由 f(2x-1)<f
(
1
3
)
,得-
1
3
<2x-1<
1
3
,解得
1
3
<x<
2
3.
故x的取值范围是
(
1
3,2
3
)
.
4.(2019 四川成都二模,8)已知定义域 R的奇函数 f(x)的图像关于直线 x=1对称,且当 0≤x≤1 时,f(x)=x3,则f
(
5
2
)
=
(
　　
)
A.-
27
8
B.-
1
8
C
.1
8
D
.27
8
答案 B
解析
∵
f(x)是奇函数,且图像关于 x=1对称,
∴
f(2-x)=f(x).又0≤x≤1 时,f(x)=x3,
∴
f
(
5
2
)
=f
(
2 - 5
2
)
=f
(
-1
2
)
=-f
(
1
2
)
=-
1
8.
故选 B.
5.(2019 山东烟台二中模拟)已知函数 y=f(x)满足 y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=
π
3
,设F(x)=f(x)+f(-x),则
F(3)=(
　　
)
A
.π
3
B
.2π
3
C.π D
.4π
3
答案 B
解析由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知 f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+2)=f(x-2).
∴
f(x+4)=f(x),则y=f(x)的周期为 4.所以 F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f(1)=
2π
3.
6.(2019 黑龙江佳木斯 一中调研二,6)已知函数 f(x)是定义在 R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[-3,0]时,
f(x)=6-x,则f(2 018)=(
　　
)
A.36 B
.1
36
C.6 D
.1
6[来源 :Zxxk . Com]
答案 A
解析
∵
f(x+4)=f(x-2),
∴
f(x+6)=f(x),
∴
f(x)的周期为 6.
又f(x)是偶函数,且当 x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,
∴
f(2 018)=f(2+336×6)=f(2)=f(-2)=62=36.故选 A.
7.(2019 重庆西南大学附属中学月考)已知 f(x+2)是偶函数,f(x)在(-∞,2]上是减少的,f(0)=0,则f(2-3x)>0的解集
是(
　　
)
A
.
(
-∞, 2
3
)
∪
(2,+∞) B
.
(
2
3,2
)
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