技巧03解答题狂练四（练）【解析版】（理科）-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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大题狂练(四)

1．在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且＋＝.

(1)证明：sin Asin B＝sin C；

(2)若b2＋c2－a2＝bc，求 tan B．

解析：(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则 a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin

C，

代入＋＝中，有＋＝，

变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．

在△ABC 中，由 A＋B＋C＝π，得 sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以 sin Asin B＝sin C.

(2)在△ABC 中，cos A＝＝，

所以 sin A＝＝.

由(1)得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

所以 sin B＝cos B＋sin B，

故tan B＝＝4.

2．如图，在四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，PD＝1，

平面 PAD⊥平面 ABCD，二面角 PCDB 为60°.

(1)求证：PA⊥平面 PCD；

(2)求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值．

解析：(1) 证明：因为平面 PAD⊥平面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD ＝

AD ，CD⊥AD ，CD⊂平面 ABCD ，所以 CD⊥平面 PAD ，所以

CD⊥PD，CD⊥AD，CD⊥PA，所以∠PDA 为二面角 PCDB 的平面角，即∠PDA＝60°.又

PD＝1，AD＝2，故 PA＝＝，所以 PD2＋PA2＝AD2，即 PD⊥PA.又PD⊂平面 PCD，CD⊂平

面PCD，PD∩CD＝D，所以 PA⊥平面 PCD.

(2)在平面 PAD 内过点 P作PO⊥AD，垂足为 O，因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面

PAD∩平面 ABCD＝AD，PO⊥AD，所以 PO⊥平面 ABCD，因为 PD＝1，∠PDA＝60°，所

以PO＝，OD＝.以O为原点，OA，OP 所在直线分别为 x轴、z轴建立空间直角坐标系 O-

xyz，如图所示，则 A，P，B，C，所以PB＝，PA＝，AC＝(－2,4,0)．设平面 PAC 的一个

法向量为 n＝(x，y，z)，则即令 x＝2，则 n＝(2,1,2)，所以 cos〈n，PB〉＝＝＝.所以直线

PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为.

3．近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，且肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，

国际上常用身体质量指数(英文为 Body Mass Index，简称 BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是

否健康，其计算公式是 BMI ＝.中国成人的 BMI 数值标准：BMI≤18.4 为偏瘦；

18.5≤BMI≤23.9 为正常；24≤BMI≤27.9 为偏胖；BMI≥28 为肥胖．某地区随机调查了 6

000 名35 岁以上成人的身体健康状况，其中有 1 000 名高血压患者，得到被调查者的频率

分布直方图，如图所示．

(1)求被调查者中肥胖人群的 BMI 数值的平均值 μ；

(2)根据频率分布直方图，完成下面的 2×2列联表，并判断能有多大(百分数)的把握认

为35 岁以上成人高血压与肥胖有关.

肥胖不肥胖合计

高血压

非高血压

合计

参考公式：K2＝，其中 n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

P(K2≥k)0.25 0.10 0.05 0.01 0.001

k1.323 2.706 3.841 6.635 10.828

解析：(1)由题图可知，1 000 名高血压患者中：

BMI [28,30) [30,32) [32,34)

人数 0.1×2×1 000＝200 0.05×2×1 000＝100 0.025×2×1 000＝50

5 000 名非高血压患者中：

BMI [28,30) [30,32) [32,34)

人数 0.08×2×5 000＝800 0.03×2×5 000＝300 0.005×2×5 000＝50

被调查者中肥胖人群的 BMI 数值的平均值 μ＝＝29.8.

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