解密04 数列求和及综合问题（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 04 数列求和及综合问题

A组考点专练

一、选择题

1.已知 Tn为数列的前 n项和，若 m>T10＋1 013 恒成立，则整数 m的最小值为(　　)

A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023

【答案】C

【解析】因为＝1＋，所以 Tn＝n＋1－，

则T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，又 m>T10＋1 013，

所以整数 m的最小值为 1 024.

2.在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ}的前 2 020 项的和为(　　)

A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020

【答案】D

【解析】设{an}的公差为 d，则有

解得∴an＝2n－1，设 bn＝ancos nπ，

则b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，

b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…，

∴数列{ancos nπ}的前 2 020 项的和 S2 020＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 019＋b2 020)＝2×1 010＝2 020.

3.数列{an}满足 a1＝1，对任意 n∈N*，都有 an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)

A. B.2 C. D.

【答案】C

【解析】对任意 n∈N*，都有 an＋1＝1＋an＋n，

则an＋1－an＝n＋1，则 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，

则＝＝2，

所以＋＋…＋＝2[＋＋…＋]＝2×＝.

4.(多选题)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前 n项和为 Tn，n∈N*，则下列

选项正确的为(　　)

A.数列{an＋1}是等差数列

B.数列{an＋1}是等比数列

C.数列{an}的通项公式为 an＝2n－1

D.Tn<1

【答案】BCD

【解析】由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，得 an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为 an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，得 a1＋1＝

2，则数列{an＋1}是首项为 2，公比为 2的等比数列.则an＋1＝2n，即 an＝2n－1.由＝＝－，得 Tn＝1－＋－

＋…＋－＝1－<1.所以 A错误，B，C，D正确.故选 BCD.

5.(多选题)已知数列{an}满足 an＋1＋an＝n·(－1)，其前 n项和为 Sn，且 m＋S2 019＝－1 009，则下列说法正确

的是(　　)

A.m为定值 B.m＋a1为定值

C.S2 019－a1为定值 D.ma1有最大值

【答案】BCD

【解析】当n＝2k(k∈N*)时，由已知条件得 a2k＋a2k＋1＝2k·(－1)k(2k＋1)，所以 S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝a1

＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝a1－2＋4－6＋8－10＋…－2 018＝a1＋1 008－2 018＝a1－1 010，

所以 S2 019－a1＝－1 010.m＋S2 019＝m＋a1－1 010＝－1 009，所以 m＋a1＝1，所以 ma1≤＝，当且仅当 m＝

a1＝时等号成立，此时 ma1取得最大值.故选 BCD.

二、填空题

6.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若 a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项公

式为 an＋1－an＝2n，则数列{an}的前 n项和 Sn＝________.

【答案】2n＋1－2

【解析】因为 an＋1－an＝2n，所以 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋

2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以 Sn＝＝2n＋1－2.

7.已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 2Sn＝3an＋1，则 a1＝________，an＝________.

【答案】－1　－3n－1

【解析】令n＝1，则 2S1＝3a1＋1，又 S1＝a1，所以 a1＝－1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3an－3an－1)，整理得 an＝3an－1，即＝3(n≥2).

因此，{an}是首项为－1，公比为 3的等比数列.

故an＝－3n－1.

8.已知数列{nan}的前 n项和为 Sn，且 an＝2n，则使得 Sn－nan＋1＋50<0 的最小正整数 n的值为________.

【答案】5

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