解密05 空间几何体的表面积和体积（分层训练）-【高频考点解密】2021年高考数学二轮复习讲义+分层训练（解析版）

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解密 05 空间几何体的表面积和体积

A组考点专练

一、选择题

1.母线长为 5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为(　　)

A.16π B.8π C. D.

【答案】A

【解析】∵母线长为 5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，∴侧面展开图的弧长为 5×＝8π，设底面圆半径

为r，弧长 8π＝底面周长＝2πr，∴r＝4，∴圆锥的高 h＝＝3，∴圆锥体积 V＝×π×r2×h＝16π.

2.在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝1，M是AC 的中点，则三棱锥 B1－ABM 的外接

球的表面积为(　　)

A.π B.2π C.π D.π

【答案】B

【解析】取AB 的中点 D，取 B1A1的中点 D1，连接 DD1，设 O是线段 DD1的中点，在 △ ABC 中，

AB⊥BC，AB＝BC，M为AC 中点，∴BM⊥AC.因此 BD＝DM＝DA＝D1B1，从而 OB1＝OB＝OA＝OM，故

O为三棱锥 B1－ABM 的外接球心，∴R2＝OB2＝OD2＋BD2＝＋＝，故三棱锥外接球的表面积 S＝4πR2＝2π.

3.已知球 O是三棱锥 P－ABC 的外接球，PA＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝2，点 D是PB 的中点，且 CD＝，则

球O的体积为(　　)

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】依题意，由 PA＝AC＝2，CP＝2，得 AP⊥AC.

连接 AD，由点 D是PB 的中点且 PA＝AB＝PB＝2，得 AD＝，

又CD＝，AC＝2，可知 AD⊥AC，

又AP∩AD＝A，AP⊂平面 PAB，AD⊂平面 PAB，所以 AC⊥平面 PAB.

以△PAB 为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球 O是该三棱柱的外接球，球心 O到底面△PAB 的距离 d

＝AC＝1.

由正弦定理得△PAB 的外接圆半径 r＝＝，

所以球 O的半径 R＝＝.

故球 O的体积 V＝πR3＝π××＝π.

4.(多选题)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF＝，则下列结

论中错误的是(　　)

A.AC⊥AF

B.EF∥平面 ABCD

C.三棱锥 A－BEF 的体积为定值

D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等

【答案】AD

【解析】由题意及图形知，当点 F与点 B1重合时，∠CAF＝60°，故 A错误；由正方体 ABCD－A1B1C1D1的

两个底面平行，EF⊂平面 A1B1C1D1，知 EF∥平面 ABCD，故 B正确；由几何体的性质及图形知，三角形

BEF 的面积是定值，点 A到平面 DD1B1B的距离是定值，故可得三棱锥 A－BEF 的体积为定值，故 C正确；

由图形可以看出，B到直线 EF 的距离与 A与直线 EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等，

故D错误.故选 AD.

5.(多选题)长方体 ABCD－A1B1C1D1的长、宽、高分别为 3，2，1，则(　　)

A.长方体的表面积为 20

B.长方体的体积为 6

C.沿长方体的表面从 A到C1的最短距离为 3

D.沿长方体的表面从 A到C1的最短距离为 2

【答案】BC

【解析】长方体的表面积为 2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A错误.长方体的体积为 3×2×1＝6，B正确.如

图1所示，长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，将侧面 ABB1A1和侧面 BCC1B1展开，如

图2所示.

连接 AC1，则有 AC1＝＝，即经过侧面 ABB1A1和侧面 BCC1B1时，A到C1的最短距离是；将侧面 ABB1A1和

底面 A1B1C1D1展开，如图 3所示，连接 AC1，则有 AC1＝＝3，即经过侧面 ABB1A1和底面 A1B1C1D1时，A到

C1的最短距离是 3；将侧面 ADD1A1和底面 A1B1C1D1展开，如图 4所示.

连接 AC1，则有 AC1＝＝2，即经过侧面 ADD1A1和底面 A1B1C1D1时，A到C1的最短距离是 2.因为 3<2<，所

以沿长方体表面由 A到C1的最短距离是 3，C正确，D错误.故选 BC.

二、填空题

6.【2020 浙江卷】已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面

半径(单位：cm)是__________.

【答案】1

【解析】如图，设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，则圆锥的侧面积 S侧＝πrl＝2π，即 r·l＝2.由于侧面展

开图为半圆，可知 πl2＝2π，可得 l＝2，因此 r＝1.

7.如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1－BB1D1D的体积为________.

【答案】

【解析】法一：连接 A1C1交B1D1于点 E，则 A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则 A1E⊥平面 BB1D1D，所以 A1E为四

棱锥 A1－BB1D1D的高，且 A1E＝，矩形 BB1D1D的长和宽分别为，1，故 VA1－BB1D1D＝×1××＝.

法二：连接 BD1，将四棱锥 A1－BB1D1D分成两个三棱锥 B－A1DD1与B－A1B1D1，VA1－BB1D1D＝VB－A1DD1＋VB－

A1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝.

8.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习俗，粽子又称“粽籺”，故称“角黍”，是端午节大家都会

品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图(1)的平行四边形形状的纸片是

由六个边长为 1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图(2)的粽子形状的六面体，则该六面

体的体积为________；若该六面体内有一球，则该球的体积的最大值为________.

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