专题3-4 超难压轴小题：导数和函数归类（1）-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

3.0 envi 2025-03-06 18 4 3.46MB 46 页 3知币
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专题 3-4：超难数压轴小题：导数和函数归类（1）
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 整数解...............................................................................................................................................1
【题型二】 零点求参...........................................................................................................................................5
【题型三】 同构...................................................................................................................................................8
【题型四】 恒成立求参：移项讨论型............................................................................................................10
【题型五】 恒成立求参：代入消参型（虚设根型）....................................................................................14
【题型六】 恒成立求参：构造函数型............................................................................................................18
【题型七】 恒成立求参：参变分离（常规型）............................................................................................21
【题型八】 恒成立求参：参变分离（洛必达法则型）................................................................................24
【题型九】 恒成立求参：倍函数....................................................................................................................26
【题型十】 恒成立求参：双函数最值型........................................................................................................29
【题型十一】 数列与导数型............................................................................................................................33
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................38
【题型一】 整数解
【典例分析】
在关于 的不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集中，有
且仅有两个大于 2的整数，则实数 的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为 ，分别研究两个函数的性质，确定 的取值范围，构造函数，
利用放缩法进一步缩小 的取值范围，列出不等式组，求出结果.
【详解】由 ，化简得： ，
设 ， ，则原不等式即为 .若 ，则当 时， ，
，
原不等式的解集中有无数个大于 2的整数，∴ .∵， ，∴ .
当 ，即 时，设 ，则 .
设 ，则 在 单调递减，所以
，所以 在 单调递减，∴
，
∴当 时， ，∴ 在 上为减函数，即 ，
∴当 时，不等式 恒成立， 原不等式的解集中没有大于 2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于 2的整数，则
{
f
(
3
)
>g
(
3
)
f
(
4
)
>g
(
4
)
f
(
5
)
≤ g
(
5
)
，即
{
e2>2ae3
4 e2>3ae4
9 e2≤4ae5
，解得 .
则实数 的取值范围为 .故选：D
【提分秘籍】
基本规律
1.通过函数讨论法，参变分离，数形结合等来切入
2.讨论出单调性，要注意整数解中相邻两个整数点函数的符号问题
【变式演练】
1.已知函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 ，则实数 的取值范围是（
）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
题意等价于存在唯一的正整数 使得不等式 成立，求出函数 的单调区间，直线
过定点 ，作出函数 和直线 图像，结合图形列出不等式组化简即可.
解：函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得 。等价于存在唯一的正整数 ，使
得不等式 成立，令 ，则 ，由 得 ，由 得
所以函数 在区间 上递增，在区间 上递减。所以 ，
直线 过定点 ，作出函数 和直线 图像如下：
由图可得要使存在唯一的正整数 使得不等式 成立
必有 所以实数 的取值范围是
故选：C.
2.已知偶函数 满足 ，且当 时， ，若关于 x的不等式
在 上有且只有 150 个整数解，则实数 t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据偶函数 满足 ，得到函数 是以 6为周期的周期函数，由 时，
，用导数法结合偶函数，作出数 在 上的图象，将不等式 在
上有且只有 150 个整数解，转化为在一个周期 上 有 3个整数解分别为-2，2，3求
解.
【详解】因为偶函数 满足 ，所以 ，即 ，
所以函数 是以 6为周期的周期函数，当 时， ，所以 ，
当 时， ，函数 递增；当 时， ，函数 递减；
当当 时，函数 取得极大值 ，作出函数 在 上的图象，如图所示：
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