专题03等差数列等比数列之练案【教师版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 02 解三角形（练）（理）
1．【2021·全国高考真题（理）】等比数列 的公比为 q，前 n项和为 ，设甲： ，乙： 是
递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成
立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
2．【2021·全国高考真题】记
n
S
是公差不为 0的等差数列
 
n
a
的前 n项和，若
3 5 2 4 4
,a S a a S 
．
（1）求数列
 
n
a
的通项公式
n
a
；
（2）求使
n n
S a
成立的 n的最小值．
【答案】(1)
2 6
n
a n 
；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得
3
a
的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前 n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：
，则：
3 3 3
5 , 0a a a  
，
设等差数列的公差为
d
，从而有：
  
2
2 4 3 3
a a a d a d d  
，
 
4 1 2 3 4 3 3 3 3
2 2S a a a a a d a d a a d d    
，
从而：
22d d  
，由于公差不为零，故：
2d
，
数列的通项公式为：
 
3
3 2 6
n
a a n d n  
.
(2)由数列的通项公式可得：
1
2 6 4a  
，则：
   
2
1
4 2 6
2
n
n n
S n n n
 
，
则不等式
n n
S a
即：
2
5 2 6n n n 
，整理可得：
 
1 6 0n n  
，
解得：
1n
或
6n
，又
n
为正整数，故
n
的最小值为
7
.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的
有关公式并能灵活运用.
3．【2021·全国高考真题】已知数列
 
n
a
满足
1
1a
，
1
1, ,
2, .
n
n
n
a n
a
a n
为奇数
为偶数
（1）记
2n n
b a
，写出
1
b
，
2
b
，并求数列
 
n
b
的通项公式；
（2）求
 
n
a
的前 20 项和.
【答案】（1）
1 2
2, 5b b 
；（2）
300
.
【分析】（1）根据题设中的递推关系可得
1
3
n n
b b
 
，从而可求
 
n
b
的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得
 
n
a
的前
20
项和为
20
S
可化为
 
20 1 2 9 10
2 10S b b b b  
，利用
（1）的结果可求
20
S
.
【详解】（1）由题设可得
1 2 1 2 4 3 2
1 2, 1 2 1 5b a a b a a a      
又
2 2 2 1 1
k k
a a
 
 
，
2 1 2 2
k k
a a
 
，
*
( )k N
故
2 2 2
3
k k
a a
 
，即
1
3
n n
b b
 
，即
1
3
n n
b b
 
所以
 
n
b
为等差数列，故
 
2 1 3 3 1
n
b n n  
.
（2）设
 
n
a
的前
20
项和为
20
S
，则
20 1 2 3 20
S a a a a    
，
因为
1 2 3 4 19 20
1, 1, , 1a a a a a a   
，
所以
 
20 2 4 18 20
2 10S a a a a  
 
1 2 9 10
9 10
2 10 2 10 2 3 10 300
2
b b b b
 
 
 
 
.
【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递
推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
4．【2021·全国高考真题（理）】已知数列
 
n
a
的各项均为正数，记
n
S
为
 
n
a
的前 n项和，从下面①②③
中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
 
n
a
是等差数列：②数列
 
n
S
是等差数列；③
2 1
3a a
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出
n
S
，结合
,
n n
a S
的关系求出
n
a
，利用
 
n
a
是等差数列可证
2 1
3a a
；
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出
n
S
，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出
n
S an b 
，结合
,
n n
a S
的关系求出
n
a
，根据
2 1
3a a
可求
b
，然后可证
专题03等差数列等比数列之练案【教师版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）.docx

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