专题03等差数列等比数列之讲案【原卷版】（文科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 03　等差数列与等比数列（讲）（文）

. 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现； 2.

数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.

1．【2021 年全国高考甲卷数学（文）】记为等比数列的前 n项和.若，，则（

）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

2．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】设是等比数列，且，，则

A．12 B．24 C．30 D．32

3．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 a5–a3=12，a6–a4=24，则 =

A．2n–1 B．2–21–nC．2–2n–1 D．21–n–1

4．【2019 年高考全国 III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列的前 4项和为 15，且，则

A．16 B．8

C．4 D．2

5．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a1=−2，a2+a6=2，则 S10=__________．

6．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】数列满足，前 16 项和为 540，则

7．【2019 年高考全国 I卷文数】记Sn为等比数列{an}的前 n项和.若，则

S4=___________．

8．【2019 年高考全国 III 卷文数】记为等差数列的前项和，若，则

9．【2021 年全国高考甲卷数学（文）】记为数列的前 n项和，已知，且数列

是等差数列，证明：是等差数列.

10．【2021 年全国高考乙卷数学（文）】设是首项为 1的等比数列，数列满足．已知，

，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前 n项和．证明：．

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容解题技巧

数列

通项公式概

念

等差（比）

数列

数列求和数列用应

通项公式

1、用观察法求数列的通项公式的两个技巧

(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n

之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来

求．

(2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

2、已知 Sn求an的三个步骤

(1)先利用 a1＝S1求出 a1；

(2)用n－1替换 Sn中的 n得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时

an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时an的表达式，如果符合，则可以把数

列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1与n≥2 两段来写．

3、由递推关系式求通项公式的常用方法

（1）已知 a1且an－an－1＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累加法”求 an．

（2）已知 a1且＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累乘法”求 an．

（3）已知 a1且an＋1＝qan＋b，则 an＋1＋k＝q(an＋k)(其中 k可由待定系数法确定)，可转

化为等比数列{an＋k}．

另外：1．形如 an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新

数列求解．

（4）形如 an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成 an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相

减即得 an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．

等差数列

1、等差数列运算问题的通性通法

（1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项 a1和公差 d，然后由通项公式或前 n项

和公式转化为方程(组)求解．

（2）等差数列的通项公式及前 n项和公式，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中

三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

2、等差数列的四种判断方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．

3、等差数列的性质

（1）项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点

(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．

(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前 n项和，则

①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；② S2n－1＝(2n－1)an．

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