专题03等差数列等比数列之讲案【原卷版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 03　等差数列与等比数列（讲）（理）
. 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现； 2.
数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.
1．【2021·全国高考真题（理）】等比数列 的公比为 q，前 n项和为 ，设甲： ，乙： 是递
增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．【2019 年高考全国 I卷理数】记 为等差数列 的前 n项和．已知 ，则
A．B．
C．D．
3．【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 的前 4项和为 15，且 ，则
A．16 B．8
C．4 D．2
4．【2019 年高考全国 I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 ，则
S5=___________．
5．【2019 年高考全国 III 卷理数】记Sn为等差数列{an}的前 n项和， ，则 __________
_．
6．【2021·全国高考真题】记
n
S
是公差不为 0的等差数列
 
n
a
的前 n项和，若
3 5 2 4 4
,a S a a S 
．
（1）求数列
 
n
a
的通项公式
n
a
；
（2）求使
n n
S a
成立的 n的最小值．
7．【2021·全国高考真题】已知数列
 
n
a
满足
，
1
1, ,
2, .
n
n
n
a n
aa n
为奇数
为偶数
（1）记
2n n
b a
，写出
1
b
，
2
b
，并求数列
 
n
b
的通项公式；
（2）求
 
n
a
的前 20 项和.
8．【2021·全国高考真题（理）】已知数列
 
n
a
的各项均为正数，记
n
S
为
 
n
a
的前 n项和，从下面①②③中
选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① 数列
 
n
a
是等差数列：②数列
 
n
S
是等差数列；③
2 1
3a a
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
9．【2021·全国高考真题（理）】记
n
S
为数列
 
n
a
的前 n项和，
n
b
为数列
 
n
S
的前 n项积，已知
2 1 2
n n
S b
 
．
（1）证明：数列
 
n
b
是等差数列;
（2）求
 
n
a
的通项公式．
10．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】
设 是公比不为 1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
一、考向分析：
二、考向讲解
考查内容 解 题 技 巧
通项公式
1、用观察法求数列的通项公式的两个技巧
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n
之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来
求．
(2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．
2、已知 Sn求an的三个步骤
(1)先利用 a1＝S1求出 a1；
(2)用n－1替换 Sn中的 n得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时
an的表达式；
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时an的表达式，如果符合，则可以把数
列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1与n≥2 两段来写．
3、由递推关系式求通项公式的常用方法
（1）已知 a1且an－an－1＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累加法”求 an．
（2）已知 a1且＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累乘法”求 an．
（3）已知 a1且an＋1＝qan＋b，则 an＋1＋k＝q(an＋k)(其中 k可由待定系数法确定)，可转
化为等比数列{an＋k}．
另外：1．形如 an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新
数列
通项公式概
念
等差（比）
数列
数列求和 数列 用应
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