专题03等差数列等比数列之讲案【教师版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 03　等差数列与等比数列（讲）（理）
. 1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现； 2.
数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.
1．【2021·全国高考真题（理）】等比数列 的公比为 q，前 n项和为 ，设甲： ，乙： 是递
增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 成
立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
2．【2019 年高考全国 I卷理数】记 为等差数列 的前 n项和．已知 ，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题知， ，解得 ，∴ ， ,故选 A．
【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等
差数列通项公式与前 n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判
断．
3．【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 的前 4项和为 15，且 ，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为 ，则 ，
解得 ， ，故选 C．
【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.
4．【2019 年高考全国 I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 ，则
S5=___________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，由已知 ，所以 又 ，
所以 所以 ．
【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分
考生易出现运算错误．
5．【2019 年高考全国 III 卷理数】记Sn为等差数列{an}的前 n项和， ，则 __________
_．
【答案】4
【解析】设等差数列{an}的公差为 d,
因 ，所以 ，即 ，
所以 ．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答
案．
6．【2021·全国高考真题】记
n
S
是公差不为 0的等差数列
 
n
a
的前 n项和，若
3 5 2 4 4
,a S a a S 
．
（1）求数列
 
n
a
的通项公式
n
a
；
（2）求使
n n
S a
成立的 n的最小值．
【答案】(1)
；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得
3
a
的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前 n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定 n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：
5 3
5S a
，则：
3 3 3
5 , 0a a a  
，
设等差数列的公差为
d
，从而有：
  
2
2 4 3 3
a a a d a d d  
，
专题03等差数列等比数列之讲案【教师版】（理科）第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测》（全国课标版）.docx

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