专题03 抛物线及其性质-直击2021年高考中的圆锥曲线问题（理科数学）

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专题 03 抛物线及其性质

一、抛物线的定义和标准方程

1．抛物线定义

平面内与一个定点 F和一条定直线 l(定点不在定直线上)__距离相等__的点的轨迹叫作抛物线，

__定点

F __叫作抛物线的焦点，__定直线

l __叫作抛物线的准线．

对抛物线定义的理解

(1)定义条件：直线 l不经过定点 F.

(2)一动三定：

“① 一动”，即动点 P；

“② 三定”，即定点 F，定直线 l和定值，也就是 P到定点 F与到定直线的距离的比值是定值 1.

2．抛物线的标准方程的几种形式

同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物

线有四种形式．请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程

图形焦点准线方程

__F ( ， 0) __ __x ＝－ __ __y 2

＝ 2 px ( p >0) __

__F ( －， 0) __ __x ＝ __ __y 2

＝－ 2 px ( p >0) __

__F (0 ， ) __ __y ＝－ __ __x 2

＝ 2 py ( p >0) __

二、抛物线的几何性质

1．抛物线的几何性质

标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)

图形

性

质

范围 __x ≥0 __ __x ≤0 __ __y ≥0 __ __y ≤0 __

对称性对称轴：__x

轴 __ 对称轴：__y

轴 __

顶点 __坐标原点__

离心率 __1__

通径过焦点且与对称轴垂直的弦 AB，|AB|＝__2 p __

2.焦半径

抛物线上一点与焦点 F连线的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点 A(x0，y0)，则四种标准方程

形式下的焦半径公式为

标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)

焦半径|AF| |AF|＝__x0＋__ |AF|＝__－ x 0__ |AF|＝__y0＋__ |AF|＝__－ y 0__

3．抛物线的焦点弦

抛物线的焦点弦即过焦点 F的直线与抛物线所成的相交弦．

焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点

坐标，再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦，，，则

抛物

线方

程

焦点

弦公

式

其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B两点的线段 AB，称为抛物线的通径．

对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径

长为 2p．

4．必记结论

直线 AB 过抛物线的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：

（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.

（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当 x1＝x2时，弦长最短为 2p.

（3）＋为定值.

（4）弦长 AB＝(α为AB 的倾斜角)．

（5）以 AB 为直径的圆与准线相切．

（6）焦点 F对A，B在准线上射影的张角为 90°.

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