专题03 【大题限时练3】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 03 大题限时练 3
1．已知四边形 中， 与 交于点 ， ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）在 中， ， ， ，
可得 ，
即有 ，
可得 ；
（2）在 中， ， ， ，
设 ， ， ，
由余弦定理可得 ，
解得 ， ， ，
所以 的面积为 ．
2．已知等差数列 满足： ， ， 成等差数列，且 ， ， 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在任意相邻两项 与 ，2， 之间插入 个 2，使它们和原数列的项构成一个新的数列
．记 为数列 的前 项和，求满足 的 的最大值．
【答案】（1） ；（2）211
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由 ， ， 成等差数列，可得 ，
即为 ，可得 ，
， ， 成等比数列，可得 ，
即为 ，解得 ，
所以 ；
（2）由于任意相邻两项 与 ，2， 之间有 个 2，
当 时，取 中前 6项，以及 个 2，
可得 ；
当 时，取 中前 7项，以及 个 2，
可得 ．
所以 中前 261 项去掉倒数 50 个2，可得 ．
则满足 的 的最大值为 211．
3．在如图所示的圆柱 中， 为圆 的直径， ， 是 的两个三等分点， ， ， 都是
圆柱 的母线．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：连接 ，因为 ， ，都是圆柱 的母线，所以 ，
因为 ， 是 的两个三等分点， 为圆 的直径，所以 ，
又因为 ， ，所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）解：连接 ，因为 为圆 的直径，所以 ，
又因为 平面 ，所以 ， ，
所以 、 、 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得各点坐标如下：
，0， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，
，2， ， ，0， ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
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