专题2-4 复合二次型和镶嵌函数零点-2022年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）（解析版）

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专题 2-4 复合二次型和镶嵌函数的零点
目录
一、热点题型归纳.........................................................................................................................................................1
【题型一】 一元二次复合型基础：可因式分解型..........................................................................................1
【题型二】 一元二次复合型：根的分布型......................................................................................................3
【题型三】 一元二次复合型：参变飞羽判别式、求根公式型......................................................................6
【题型四】 一元二次复合型：线性规划型（老高考）................................................................................10
【题型五】 一元二次复合型：函数性质综合型............................................................................................13
【题型六】 嵌套函数基础型............................................................................................................................16
【题型七】 嵌套函数常规型：无参数双坐标系换元转换法........................................................................18
【题型八】 嵌套函数含参型：解析式含参....................................................................................................20
【题型九】 嵌套函数含参型：参数在方程....................................................................................................24
【题型十】 嵌套函数含参型：双函数型........................................................................................................28
【题型十一】 嵌套函数双复合型....................................................................................................................33
二、最新模考题组练...................................................................................................................................................36
【题型一】 一元二次复合型基础型：可因式分解
【典例分析】
已知函数
f
(
x
)
=x
ln x
，若关于
x
的方程
[
f
(
x
)
]
2+af
(
x
)
+a−1=0
有且仅有三个不同的实数解，则实数
a
的取值
范围是( )
A．
(
−2 e ,1−e
)
B．
(
1−e,0
)
C．
(
−∞, 1−e
)
D．
【答案】C
【分析】首先利用导函数求
f(x)
的单调性，根据其单调性作出
f(x)
的大致图像，然后结合已知条件将方程
解的问题转换成交点问题即可求解.
【详解】因为
f
(
x
)
=x
ln x
，所以
f'
(
x
)
=ln x−1
(
ln x
)
2
，当
x∈
(
0,1
)
∪
(
1,e
)
，
f'
(
x
)
<0
；当
x∈
(
e,+∞
)
，
f'
(
x
)
>0
，
所以
f
(
x
)
在
(
0,1
)
和
(
1,e
)
单调递减，在
(
e,+∞
)
单调递增，
且当
x → 0
时，
f
(
x
)
→0
，
f
(
e
)
=e
，故
f
(
x
)
的大致图象如图所示：
关于
x
的方程
[
f
(
x
)
]
2+af
(
x
)
+a−1=0
等价于
[
f
(
x
)
+1
] [
f
(
x
)
+a−1
]
=0
，
即
f
(
x
)
=−1
或
f
(
x
)
=1−a
，由图知，方程
f
(
x
)
=−1
有且仅有一解，则
f
(
x
)
=1−a
有两解，
所以
1−a>e
，解得
a<1−e
，故选:C.
【提分秘籍】
基本规律
1.以f（x）为变量，可转化为一元二次型
2.一元二次可通过因式分解，转化为“水平线与 f（x）交点型”
【变式演练】
1.已知
f(x)
是定义在
R
上的偶函数，且满足
f(x)=¿
，若关于
x
的方程
[f(x)]2+
(
a−1
)
f(x)−a=0
有10 个不
同的实数解，则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
(
1,2
)
B．
(
−2,−1
)
∪{2 ln 2−2}
C．
(
−2,2 ln 2−2
)
D．
(
−2,2 ln 2−2
]
【答案】B
【分析】求导分析
f(x)
的单调性、极值、边界情况，画出函数
y=f(x)
在
¿
的图象，数形结合即得解
【详解】当
x ≥ 1
时，
f(x)=x−2 ln x
，
f'(x)=1−2
x
，当
1≤ x <2
时，
f'(x)<0
，当
x>2
时，
f'(x)>0
，
所以
f(x)
在
[
1,2
)
上单调递减，在
(
2,+∞
)
上单调递增，
当
x=2
时，
f(x)
取得极小值
f
(
2
)
=2−2 ln 2
，且
f
(
1
)
=1
，当
x →+∞
时，
f(x)→+∞
；
当
0≤ x<1
时，
f(x)=−x2+3x
单调递增，且此时
0≤ f (x)<2
.
函 数
y=f(x)
在
¿
的图象如下图所示：
方程
[
f(x)
]
2+
(
a−1
)
f(x)−a=0
即
[
f(x)−1
] [
f(x)+a
]
=0
，
由图象可知，
f(x)−1=0
在
¿
有3个实数解，由于
y=f(x)
为偶函数，故在 R上有 6个实数解
所以只需要
f(x)+a=0
有4个不同的实数解，
可得
a=2 ln 2−2
或
−2<a←1
，故选：B.
2.函数
f(x)={
a , x =1
(1
2)
¿x−1∨¿+1, x ≠1
¿
若关于
x
的方程
2f2(x)−(2a+3)f(x)+3a=0
有五个不同的实数解，则
a
的取
值范围是（ ）
A．
(1,2)
B．
(1,3
2)∪(3
2,2)
C．
¿
D．
(1,3
2)
【答案】B
【分析】
首先根据题意得到
f
(
x
)
=3
2
或
f
(
x
)
=a
，再根据函数
f
(
x
)
图象即可得到答案.
【详解】因为
2f2(x)−(2a+3)f(x)+3a=0
，所以
(
2f
(
x
)
−3
)(
f
(
x
)
−a
)
=0
，
即
f
(
x
)
=3
2
或
f
(
x
)
=a
，由
f
(
x
)
图象可知：
f
(
x
)
=3
2
有
2
个解，所以
f
(
x
)
=a
有
3
个解，所以
1<a<3
2
或
3
2<a<2
.
故选：B
3.已知函数
f
(
x
)
=¿
，若关于
x
的方程
[
f
(
x
)
]
2+
(
1−2m
)
f
(
x
)
−2m=0
有
4
个不同的实数解，则实数
m
的取值
范围是（ ）
A．
(
1
3,1
e
)
B．
(
1
3,1
2e
)
C．
(
0,1
e
)
D．
(
0,1
2e
)
【答案】D
【解析】
【分析】
令
[
f
(
x
)
]
2+
(
1−2m
)
f
(
x
)
−2m=0
，得
f
(
x
)
=2m
或
f
(
x
)
=−1
，将问题等价转化为直线
y=2m
和直线
y=−1
与函数
y=f
(
x
)
的图象共有
4
个交点，数形结合可得出实数
m
的取值范围.
【详解】
令
[
f
(
x
)
]
2+
(
1−2m
)
f
(
x
)
−2m=0
，即
[
f
(
x
)
−2m
]
⋅
[
f
(
x
)
+1
]
=0
，得
f
(
x
)
=2m
或
f
(
x
)
=−1
，
则直线
y=2m
和直线
y=−1
与函数
y=f
(
x
)
的图象共有
4
个交点.
当
x ≥ 1
时，
f
(
x
)
=ln x
x
，
f'
(
x
)
=1−ln x
x2
，令
f'
(
x
)
=0
，得
x=e
.
当
1≤ x <e
时，
f'
(
x
)
>0
，此时函数
y=f
(
x
)
单调递增；
当
x>e
时，
f'
(
x
)
<0
，此时函数
y=f
(
x
)
单调递减.
函数
y=f
(
x
)
的极大值为
f
(
e
)
=1
e
，且当
x>1
时，
f
(
x
)
=ln x
x>0
，如下图所示：
由于关于
x
的方程
[
f
(
x
)
]
2+
(
1−2m
)
f
(
x
)
−2m=0
有
4
个不同的实数解，
由图象可知，直线
y=−1
与函数
y=f
(
x
)
的图象只有一个交点，
所以，直线
y=2m
与函数
y=f
(
x
)
的图象有
3
个交点，所以
0<2m<1
e
，解得
0<m<1
2e
.
因此，实数
m
的取值范围是
(
0,1
2e
)
.故选：D.
【题型二】 一元二次复合型：根的分布型
【典例分析】
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