专题18 【大题限时练18】-备战2022年江苏高考数学满分限时题集（解析版）

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专题 18 大题限时练 18
1．在①
1
1a
，
1
2 1
n
n
n
a
aa
；②
1 2 3
3 5 (2 1)
n
a a a n a n  
；③
2
1 2
1 1 1
n
n
a a a
 
这三个条件中
任选一个，补充在下面问题中，并作答：
（1）求
{ }
n
a
的通项公式；
（2）求
(2 1)
( 1)
n
n a
n n
 
 
 
的前
n
项和
．
【答案】见解析
【详解】（1）当选条件①时：
1
2 1
n
n
n
a
aa
，
1
2 1
1 1
2
n
n n n
a
a a a
 
，即
1
1 1 2
n n
a a
 
，
又
1
11
a
，
数列
1
{ }
n
a
是首项为 1，公差为 2的等差数列，
11 2( 1) 2 1
n
n n
a 
，
1
2 1
n
an
 
；
当选条件②时：
1 2 3
3 5 (2 1)
n
a a a n a n   
，
当
2n…
时，有
1 2 3 1
3 5 (2 3) 1
n
a a a n a n
   
，两式相减整理得：
1
2 1
n
an
，
2n…
，
又当
1n
时，有
1
1a
也适合上式，
1
2 1
n
an
 
；
当选条件③时：
2
1 2
1 1 1
n
n
a a a
 
，
当
2n…
时，
2
1 2 1
1 1 1 ( 1)
n
n
a a a
 
，两式相减整理得：
1
2 1
n
an
，
2n…
，
又当
1n
时，有
1
1a
也适合上式，
1
2 1
n
an
 
；
（2）由（1）可得：
(2 1) 1 1 1
( 1) ( 1) 1
n
n a
n n n n n n
 
 
，
1 1 1 1 1 1
1 1
2 2 3 1 1 1
n
n
Tn n n n
   
 
．
2．已知
a
，
b
，
c
是
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边，且
5cos cos 2 5sin sin cos 2B C B C A 
．
（1）求角
A
的大小；
（2）若
ABC
的面积
3 3
2
S
，
3c
，求
sin sinB C
的值．
【答案】（1）
3
A
；（2）
1
sin sin 2
B C
【详解】（1）由于
5cos cos 2 5sin sin cos 2B C B C A 
，
整理得
2
5cos( ) 2 2cos 1B C A  
,
转换为
2
2cos 5cos 3 0A A  
，
解得
 
13
2
cosA  或 舍去
，
由于
(0, )A
，
所以
3
A
．
（2）
ABC
的面积
3 3
2
S
，
故
1 1 3 3
sin sin
2 2 3 2
bc A bc
 
，
所以
6bc
，由于
3c
，
所以
2 3b
，
利用余弦定理：
2 2 2
2 cos 12 3 6 9a b c bc A  
，
故
3a
．
则
2 2 3
sin
a
RA
 
，
利用
2
(2 ) sin sin 6R C B
，
解得
1
sin sin 2
B C
．
3．已知某射手射中固定靶的概率为
3
4
，射中移动靶的概率为
2
3
，每次射中固定靶、移动靶分别得 1分、2
分，脱靶均得 0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行 3次打靶射击：向固定靶射击 1次，向移动靶
射击 2次．
（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1次”的概率；
（2）求该射手的总得分
X
的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1次”为事件
D
，射中固定靶为事件
A
，射中移
动靶分别为事件
B
，
C
，
则
D ABC ABC 
，其中
ABC ABC
互斥，
A
，
B
，
C
，
B
，
C
相互独立，
P
（A）
3
4
，
P
（B）
P
（C）
2
3
，
P
（D）
3 2 2 3 2 2 1
( ) ( ) (1 ) (1 )
4 3 3 4 3 3 3
P ABC P ABC    
．
即该射手射中固定靶且恰好射中移动靶 1次的概率为
1
3
．
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