专题17 导数的基本应用（讲）【解析版】（理科）第一篇热点、难点突破篇-《2022年高考理科数学二轮复习讲练测》（全国课标版）

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专题 17 导数的基本应用

1．（2020 年高考全国Ⅰ卷理数 6）函数的图像在点处的切线方程为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，，，，因此，所求切线的方程为

，即，故选 B．

2．（2019 浙江高考）已知，函数．若函数

恰有 3个零点，则

A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0

【答案】C

【解析】当 x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得 x

¿b

1− a

，则 y＝f（x）﹣ax﹣b最多

有一个零点；当 x≥0 时，y＝f（x）﹣ax﹣b

¿1

−1

（a+1）x2+ax﹣ax﹣b

¿1

−1

（a+1）x2﹣b，，当 a+1≤0，即 a≤ 1﹣ 时，y

′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则 y＝f（x）﹣ax﹣b最

多有一个零点，不合题意；当 a+1＞0，即 a> 1﹣ 时，令 y′＞0得

x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令 y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2个零点．

根据题意，函数 y＝f（x）﹣ax﹣b恰有 3个零点⇔函数 y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在

[0，+∞）上有 2个零点，如图：

∴

1− a ＜

0且

，解得 b＜0，1﹣a＞0，b

＞−1

（a+1）3，则 a>–1，b<0．故选 C．

3．（2019 年高考天津理数）已知，设函数若关于的不等式在

上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，恒成立；当时，

恒成立，令，则

，当，即时取等号，∴

，则．当时，，即恒成立，令，则

，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，

则时，取得最小值，∴ ，综上可知，的取值范围是．

故选 C．

4．（2020 年高考全国Ⅰ卷文数 15）曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为

．

【答案】

【解析】设切线的切点坐标为，，

∴切点坐标为，所求的切线方程为，即，故答案为：．

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容解题技巧

导数的几

何意义

1．求切线方程的方法

(1)求曲线在点 P处的切线，则表明 P点是切点，只需求出函数在点 P处的导数，然后

利用点斜式写出切线方程．

(2)求曲线过点 P的切线，则 P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐

标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程．

2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并

解出参数．

(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上．(3)切点在曲线上．

导数与函

数单调性

1、确定函数单调区间的步骤

（1）确定函数 f(x)的定义域．（2）求 f′(x)．

（3）解不等式 f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间．

（4）解不等式 f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

2．函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，“f′(x)>0 在(a，b)上成立”是“f(x)在

(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．

3、根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间

的子集．

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子

区间上 f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．

4、划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和函数的间断

点．

5、个别导数为 0的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时

取到)，f(x)在R上是增函数．

1、函数极值问题的常见类型及解题策略

（1）知图判断函数极值的情况．先找导数为 0的点，再判断导数为 0的点的左、右两侧的

函数与导数

导数的几

何意义

导数与函

数单调性

导数与函的

极值、最值导数与不等式导数与零点

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