专题09 利用导数解决零点问题（解析版）-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）

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09 利用导数解决零点问题
【2022 届新高考一模试题分类汇编】
一、解答题
1．（2022·安徽·六安一中高二开学考试）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 在 上的最小值；
(3)当 时，求函数 在 上零点的个数.
【解析】 (1)当 时， ， ， ， ，
所以切线方程为 .
(2) ，当 时， ，
当 ，即 时， 在 上恒成立，
故 在 是单调递减， 当 时，
令 ，得 ，令 ，得 ，故 在 上递减，
在 上单调递增， ，
综上， 时， ， 时，
(3)由题设得 ，故 ，
设 ，则 ，
（i）当 时， ， 即 在 上递减，又 ，
，且 的图像连续，
故 在 上唯一零点 ，当 时， ，当 时，
，故 在 内单调递增，在 上单调递减，
又 ， ，故 ，又 的图像连续不断，
故存在 ，使得 ，即此时 有 1个零点.
（ii）当 时， ， 在 内递减，
又 ， ， 的图像连续不断，故存在一个 ，使得
；
（ⅲ）当 时， ， ，故 ，从而 在 上没有
零点，综上， 在 上有 2个零点.
2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数.
【解析】 (1)函数 的定义域为 ， .
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)令 ，得 .
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ；当 时， ，
当 时， ，所以 ，
所以函数 的图象如图所示，由图可得，
当 时，直线 与函数 的图象没有交点，函数 没有零点；
当 或 时，直线 与函数 的图象有 1个交点，函数 有 1个零点；
当 时，直线 与函数 的图象有 2个交点，函数 有 2个零点.
3．（2022·安徽·蒙城县第六中学高三开学考试（理））已知函数 .
(1)若 ，求证： 恒成立；
(2)当 时，求 零点的个数.
【解析】 (1)当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ，
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