第一节 平面向量及其线性运算(题型考点分析)-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练(解析版)

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题型考点分析　第一节 平面向量及其线性运算
【考点一】 平面向量的有关概念
【典型例题 1】
给出下列结论：
① 两个单位向量是相等向量；
②若a＝b，b＝c，则 a＝c；
③ 若一个向量的模为 0，则该向量的方向不确定；
④ 若＝，则 a＝b；
⑤若a与b共线，b与c共线，则 a与c共线．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，①错误；若 a＝b，b＝c，则
a＝c，向量相等具有传递性，②正确；一个向量的模为 0，则该向量一定是零向量，方向
不确定，③正确；若＝，则 a＝b，还要方向相同才行，④错误；a与b共线，b与c共线，
则a与c共线，当 b为零向量时不成立，⑤错误．
【答案】 B
【归纳总结】 平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象
的移动混淆．
(4)非零向量 a与的关系：是与 a同方向的单位向量．　
【考点二】 平面向量的线性运算
【典型例题 2】
(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，则
EB＝(　　)
A．AB－AC B．AB－AC
C．AB＋AC D．AB＋AC
(2)如图所示，在直角梯形 ABCD 中，AB＝2AD＝2DC，E为BC 边上一点，BC＝
3EC，F为AE 的中点，则BF＝(　　)
A．AB－AD B．－AB＋AD
C．－AB＋AD D．AB－AD
【解析】 (1)EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－AC，故选 A．
(2)根据平面向量的运算法则得BF＝BA＋BE，
BE＝BC，BC＝AC－AB．
因为AC＝AD＋DC，DC＝AB，
所以BF＝－AB＋＝－AB＋AD，故选 B．
【答案】 (1)A　(2)B
【归纳总结】 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角
函数知识解答，运算法则是：①平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与
差)；②三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和 )；二是坐标运算：建立坐
标系转化为解析几何问题解答．
向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、
线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定
了基础．对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形，然后利用条件
进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握．
【考点三】 根据向量线性运算求参数
【 典 型 例 题 3】
如 图 所 示 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝2，BC ＝3， ∠ ABC ＝
60°，AH⊥BC 于点 H，M为AH 的中点．若AM＝λAB＋μBC，则 λ＋μ＝________．
【解析】　因为 AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以 BH＝1．
因为点 M为AH 的中点，
所以AM＝AH＝(AB＋BH)＝＝AB＋BC，
又AM＝λAB＋μBC，所以 λ＝，μ＝，所以 λ＋μ＝．
【答案】　
【归纳总结】 向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用
平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边
形或三角形中求解．
【考点四】 平面向量共线定理的应用
【典型例题 4】
设两个非零向量 a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数 k，使 ka＋b和a＋kb共线．
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