2021年新高考数学之圆锥曲线综合讲义第20讲 圆过定点问题（原卷版）

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第20 讲 圆过定点问题
一、解答题
1．已知椭圆 的离心率为 ，椭圆上的点到右焦点 的最近距离为 ，若椭圆
与 轴交于 两点， 是椭圆 上异于 的任意一点，直线 交直线 于 点，直线
交直线 于 点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）试探求以 为直径的圆是否恒经过 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明
理由．
2．已知椭圆 的右焦点为 F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点， ABF 的面积
为 ．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）过点 F的直线 l与椭圆 C交于 P，Q两点，直线 AP、AQ 分别与直线 x＝ 交于点 M、N．以 MN
为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
3．已知定点 ，圆 ，过 R点的直线 交圆于 M，N两点过 R点作直线
交SM 于Q点.
（1）求 Q点的轨迹方程；
（2）若 A，B为Q的轨迹与 x轴的左右交点， 为该轨迹上任一动点，设直线 AP，BP 分
别交直线 l： 于点 M，N，判断以 MN 为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，
说明理由.
4．已知圆 和直线 ，在 轴上有一点 ，在圆 上有不与 重合的两动点
，设直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，
（l）若
① 求出 点坐标；
② 交 于 ， 交 于 ，求证：以 为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．
（2）若 ：判断直线 是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．
5．已知椭圆 ： 的离心率为 ，直线 ： 与以原点为圆心，以椭
圆 的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，直线 ，
分别交直线 于 ， 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）以线段 为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.
6．已知圆
C:
(
x+4
)
2+y2=4
与
x
轴交于
A、B
两点，
P
是圆
C
上的动点，直线
AP
与
分别与
y
轴
交于
M、N
两点．
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