-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题15 导数与函数的极值、最值(基础训练)(解析版)

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专题 15 导数与函数的极值、最值

[基础题组练]

1．(2020·辽宁沈阳一模)设函数 f(x)＝xex＋1，则(　　)

A．x＝1为f(x)的极大值点

B．x＝1为f(x)的极小值点

C．x＝－1为f(x)的极大值点

D．x＝－1为f(x)的极小值点

解析：选D.由f(x)＝xex＋1，可得 f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)>0 可得 x>－1，即函数 f(x)在(－1，＋∞)上是

增函数；令 f′(x)<0 可得 x<－1，即函数 f(x)在(－∞，－1)上是减函数，所以 x＝－1为f(x)的极小值点．故选

2．函数 y＝在[0，2]上的最大值是(　　)

A.　　　　　　　　　 B．

C．0 D．

解析：选A.易知 y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1＜x≤2，所以函数 y＝在[0，1]上

单调递增，在(1，2]上单调递减，所以 y＝在[0，2]上的最大值是 y|x＝1＝，故选 A.

3．(2020·广东惠州 4月模拟)设函数 f(x)在R上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 f(x)在x＝－2处取得极小值，

则函数 y＝x·f′(x)的图象可能是(　　)

解析：选C.因为函数 f(x)在R上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当 x

>－2时，f′(x)>0；当 x＝－2时，f′(x)＝0；当 x<－2时，f′(x)<0.

所以当－2<x<0 时，xf′(x)<0；当 x＝－2时，xf′(x)＝0；

当x<－2时，xf′(x)>0.故选 C.

4．(2020·河北石家庄二中期末)若函数 f(x)＝(1－x)(x2＋ax＋b)的图象关于点(－2，0)对称，x1，x2分别是 f(x)

的极大值点与极小值点，则 x2－x1＝(　　)

A．－ B．2

C．－2 D．

解析：选C.由题意可得 f(－2)＝3(4－2a＋b)＝0，

因为函数图象关于点(－2，0)对称，且f(1)＝0，

所以 f(－5)＝0，

即f(－5)＝6(25－5a＋b)＝0，

联立解得

故f(x)＝(1－x)(x2＋7x＋10)＝－x3－6x2－3x＋10，

则f′(x)＝－3x2－12x－3＝－3(x2＋4x＋1)，

结合题意可知 x1，x2是方程 x2＋4x＋1＝0的两个实数根，且x1>x2，

故x2－x1＝－|x1－x2|＝－＝－＝－2.

5．已知函数 f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若 f(x)在区间[k，2]上的最大值为 28，则实数 k的取值范围为(　　)

A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)

C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]

解析：选D.由题意知 f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得 x＝1或x＝－3，所以 f′(x)，f(x)随x的变化

情况如下表：

x(－∞，－3) －3 (－3，1) 1(1，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)极大值 极小值 

又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k，2]上的最大值为 28，所以 k≤－3.

6.函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则 x＋x＝________．

解析：函数 f(x)的图象过原点，所以 d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，

解得 b＝－1，c＝－2，所以函数 f(x)＝x3－x2－2x，所以 f′(x)＝3x2－2x－2，由题意知 x1，x2是函数的极值点，

所以 x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以 x1＋x2＝，x1x2＝－，所以 x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.

答案：

7．若函数 f(x)＝x3－3ax 在区间(－1，2)上仅有一个极值点，则实数 a的取值范围为________．

解析：因为 f′(x)＝3(x2－a)，所以当 a≤0时，f′(x)≥0在R上恒成立，所以 f(x)在R上单调递增，f(x)没

有极值点，不符合题意；当 a>0 时，令f′(x)＝0得x＝±，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表所示：

x(－∞，－)－(－，) (，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)极大值 极小值 

因为函数 f(x)在区间(－1，2)上仅有一个极值点，所以或解得 1≤a<4.

答案：[1，4)

8．函数 f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值是正数，极小值是负数，则 a的取值范围是________．

解析：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，

由f′(x)＝0得x＝±a，

当－a<x<a时，f′(x)<0，函数单调递减；

当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增，

所以 f(x)的极大值为 f(－a)，极小值为 f(a)．

所以 f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0 且f(a)＝a3－3a3＋a<0.

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