-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题14 导数与函数的单调性

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专题 14 导数与函数的单调性

【考点总结】

1．函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y

＝f(x)在这个区间内单调递减．

2．函数的极值

(1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法

解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0时：

① 如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；

② 如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

② 求方程 f′(x)＝0的根；

③考查f′(x)在方程 f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取

得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值．

3．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]

上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

(3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

① 求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值；

② 将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)做比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个

为最小值．

【常用结论】

1．在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．

2．可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，

b)上的任何子区间内都不恒为零．

3．对于可导函数 f(x)，f′(x0)＝0是函数 f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

【易错总结】

(1)原函数与导函数的关系不清致误；

(2)极值点存在的条件不清致误；

(3)忽视函数的定义域．

例1．函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)(　　)

A．无极大值点、有四个极小值点

B．有三个极大值点、一个极小值点

C．有两个极大值点、两个极小值点

D．有四个极大值点、无极小值点

解析：选C.导函数的图象与 x轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四

个是极小值点．

例2．设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax 有大于零的极值点，则实数 a的取值范围是________．

解析：因为 y＝ex＋ax，所以 y′＝ex＋a.

因为函数 y＝ex＋ax 有大于零的极值点，

所以方程 y′＝ex＋a＝0有大于零的解，

因为当 x>0 时，－ex<－1，所以 a＝－ex<－1.

答案：(－∞，－1)

例3．函数 f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．

解析：由f′(x)＝1－<0，得>1，即x<1，又x>0，所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，1)．

答案：(0，1)

【考点解析】

【考点】一、不含参数函数的单调性

例1．函数 y＝4x2＋的单调递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．

C．(－∞，－1) D．

解析：选B.由y＝4x2＋，得y′＝8x－，

令y′>0，即8x－>0，解得 x>，

所以函数 y＝4x2＋的单调递增区间为.

故选 B.

例2．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)(　　)

A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减

C．在上单调递增 D．在上单调递减

解析：选D.因为函数 f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ln x＋1(x>0)，当f′(x)>0 时，解得 x>，

即函数的单调递增区间为；

当f′(x)<0 时，解得 0<x<，

即函数的单调递减区间为，故选 D.

例3．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间是________．

解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，

令f′(x)＝xcos x>0，

则其在区间(－π，π)上的解集为和，

即f(x)的单调递增区间为和.

答案：和

求函数单调区间的步骤

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