《突破2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选精练》第19讲 利用平面向量解决平行四边形问题（解析版）

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第19 讲 利用平面向量解决平行四边形问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共 16 小题）
1．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 经过 ，且离心率 ，
（1）求椭圆方程．
（2）经过点 且斜率 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 和 ．
①求 的取值范围．
②设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在常数 ，使向量 与 共线？
如果存在，求 值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由 焦点在 轴，
经过 ，
故 ，
又离心率 ，解得： ，
椭圆方程为 ；
（2）①由已知条件，直线 的方程为 ，
，整理得 ，
直线 与椭圆有两个不同的交点 和 等价于△ ，
△，解得： ．
即 的取值范围为 ．
②设 ， ， ， ，则 ， ，
由韦达定理得： ，
又 ，而 ，
与 共线等价于 ，
解得 ，
由①知 ．矛盾，
故没有符合题意的常数 ．
2．已知椭圆 的右焦点 ，点 ， 为椭圆的半焦距）在 轴上，若椭圆的离心
率 ，且 ．
（1）求椭圆方程；
（2）若过 的直线交椭圆与 ， 两点，且 与向量 共线（其中 为坐标原点），求
证： ．
【解答】解：（1）依题意有： ，
，
椭圆方程： （6分）
（2）设直线 的方程为： ， ， ， ， ，
联立方程组 ，整理得：
，
， ，
，
由 与向量 共线，得 ，
故 ．
． （13 分）
3．在平面直角坐标系 中，经过点 且斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、
，
（Ⅰ）若 ；求直线 的斜率 的值；
（Ⅱ）设椭圆与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在常数 ，使得向量 与
共线，如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】（本小题 12 分）
解：（1） 直线 经过点 且斜率为 ，
， （1分）
由 ，得 ， （3分）
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