《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第30讲 整数解问题之分离参数（解析版）

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第30 讲 整数解问题之分离参数
1．已知 ．
（1）若函数 在 上有 1个零点，求实数 的取值范围．
（2）若关于 的方程 有两个不同的实数解，求 的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数判断即可；
（2）由 可得 ，令 ，则
，由关于 的方程 有两个不同的实数解，即方程
有两个不同的实数解，令 ，求出函数 的最值，即可得解.
（1）
解： ， ， ，
所以 ，
当 时， ，所以 在 ， 单调递增，
又因为 ，所以 在 ， 上无零点；
当 时， ，使得 ，
所以 在 ， 单调递减，在 单调递增，
又因为 ， ，
所以若 ，即 时， 在 ， 上无零点，
若 ，即 时， 在 ， 上有一个零点，
当 时， ， 在 ， 上单调递减， 在 ， 上无零点，
综上当 时， 在 ， 上有一个零点；
（2）
解：由 ，
即 ，即 ，
则有 ，
令 ，则 ，
，所以函数 在 上递增，
所以 ，则有 ，即 ，
因为关于 的方程 有两个不同的实数解，
则方程 有两个不同的实数解，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 .
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调区间及最值问题，考查了分类讨论思想、转化思想及同构思想，难度较
大.
2．已知函数 .
（1）若 在 处取得极值，求 的值及函数的单调区间；
（2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.
① 若 恒成立，求 的取值范围.
② 若 仅有两个零点，求 的取值范围.
【答案】
（1）单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2）选择①时， ；选择②时，
【分析】
（1）把 代入 ，然后对 求定义域，求导，利用 求出求 的值，观察出 是个增
函数进而求出函数的单调区间；（2）对 进行同构变形，然后构造新函数求 的取值范围
（1）
定义域为 ， ， 在 处取得极值，则 ，所以 ，
此时 ，可以看出 是个增函数，且 ，所以当 时， ，
单调递减，当 时， ， 单调递增.故 的单调递减区间为 ，单调递增
区间为 .
（2）
① 选择若 恒成立，
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