《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第29讲 割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值（解析版）

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第29 讲 割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
1．已知函数 为自然对数的底数）．
（1）求函数 的零点 ，以及曲线 在 处的切线方程；
（2）设方程 有两个实数根 ， ，求证： ．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
函数的零点 ， ， ， ．
曲线 在 处的切线方程为 ， ， （1） ，
曲线 在 处的切线方程为 ；
（2）证明： ，
当 时， ；当 时， ．
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
由（1）知，当 或 时， ；当 时， ．
下面证明：当 时， ．
当 时， ．
易知， 在 ， 上单调递增，
而 ，
对 恒成立，
当 时， ．
由 得 ．记 ．
不妨设 ，则 ，
．
要证 ，只要证 ，即证 ．
又 ，
只要证 ，即 ．
，即证 ．
令 ， ．
当 时， ， 为单调递减函数；
当 时， ， 为单调递增函数．
，
，
．
2．已知函数 为自然对数的底数）．
（1）求函数 的零点，以及曲线 在其零点处的切线方程；
（2）若方程 有两个实数根 ， ，求证： ．
【解答】解：（1）由 ，得 ，或 ，所以 的零点为 1， ；
因为 ，所以 （1） ， （e） ．
因为 （1） （e） ，所以曲线线 在 处的切线方程为 ，在 处的切
线方程为 分
（2）证明：因为 ，所以 ，所以 单调递减．令
， ，
下面证 ，即 ，
记 ，则 ， ，
所以 单调递增，且 （1） ，故 在 单调递减，在 单调递增．
所以 （1） ，即 ，
同法可证 ，即 ．
不妨设 ，
因为 ，且 为增函数，所以 ，
由 ，得 ，
同理， ， ，
所以 ，
所以， ，
所以， 分
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