《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第28讲 零点差问题（原卷版）

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第28 讲 零点差问题
1．设 ．
（1）如果 在 处取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的单调递减区间的长度是正整数，试求 和 的值（注：区间 ，
2．已知关于 的函数 ， 与 ， 在区间 上恒有 ．
（1）若 ， ， ，求 的表达式；
（2）若 ， ， ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ， ， ，
，求证： ．
3．已知函数 ．
（1）如 ，求 的单调区间；
（2）若 在 ， 单调增加，在 ， 单调减少，证明： ．
4．已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
5．已知函数 ，其中 是实数．设 ， 为该函数图象上的两点，横坐标分别为 ，
，且 ．
（Ⅰ）求 的单调区间和极值；
（Ⅱ）若 ，函数 的图象在点 ， 处的切线互相垂直，求 的最大值．
6．已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：函数 存在单调递减区间 ， ，并求出单调递减区间的长度 的取值范围．
7．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， ， 是 的两个零点．证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
8．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ， 是 的两个零点．证明：
（ⅰ） ；
（ⅱ） ．
9．设函数 ，其中 且 ．
（1）证明 恰有两个零点；
（2）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明： ．
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