《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第28讲 零点差问题（解析版）

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第28 讲 零点差问题
1．设 ．
（1）如果 在 处取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的单调递减区间的长度是正整数，试求 和 的值（注：区间 ，
的长度为
【解答】解：（1） ．
，
由题意，知 ，解得 ，
所以 ．
（2） ，因为 的单调递减区间的长度是正整数，
所以 存在两个不相等的实数根 ， ，不妨设 ，△ ，
，
又因为 ，所以 ， 或 ， ．
2．已知关于 的函数 ， 与 ， 在区间 上恒有 ．
（1）若 ， ， ，求 的表达式；
（2）若 ， ， ， ，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ， ， ，
，求证： ．
【解答】解：（1）由 得 ，
又 ， ，所以 ，
所以，函数 的图象为过原点，斜率为 2的直线，所以 ，
经检验： ，符合任意，
（2） ，
设 ，设 ，
在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
所以 （1） ，
所以当 时， ，
令
所以 ，得，
当 时，即 时， 在 上单调递增，
所以 ， ，
所以 ，
当 时，即 时，
△，即 ，
解得 ，
综上， ， ．
（3）①当 时，由 ，得
，
整理得 ，
令△ ，
则△ ，
记 ，
则 ，恒成立，
所以 在 ， 上是减函数，则 （1），即 ，
所以不等式 有解，设解为 ，
因此 ．
②当 时，
，
设 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 是减函数，
当 ， 时， ， 是增函数，
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