《突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练》第26讲 拐点偏移问题（解析版）

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第26 讲 拐点偏移问题
1．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程．
（2）若正实数 ， 满足 ，求证： ．
【解答】解：（1） ， ， ，
（1） ， （1） ，故曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
即 ；
（2）证明：因为 ， 在 上单调递增．
由 （1） ，正实数 ， 满足 ，
所以不妨设 ，
记 ， ，
， 在 ， 上单调递增．
因为 ， ， （1） ，
所以 ，即 ，
所以 ，根据 单调递增，得 ，
即原命题成立．
2．已知函数 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，设 ，若正实数 ， ，满足 ，求证： ．
【解答】解：（1） ，
，在 递减，在 递增，
且
当 时， 恒成立，此时函数 在 上单调递增；
当 时， 的根为 ，
时，函数 在 ， ， 上单调递增，在 单调递减；
时，函数 在 ， 上单调递增，在 ， 单调递减；
证明：（2） ， ．
由 ，即 ，
从而 ， （8分）
令 ，则由 得：
可知， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
（1） ， （10 分）
，
，
又 ， ， ．
3．已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 在 处取得极值，求 的值；
（Ⅱ）设 ，试讨论函数 的单调性；
（Ⅲ）当 时，若存在正实数 ， 满足 ，求证： ．
【解答】解：（Ⅰ）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，所以 （1） ，解得： ．
验证：当 时， ，
易得 在 处取得极大值．
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
①若 ，则当 时， ，
所以函数 在 上单调递增；
当 ， 时， ，
函数 在 ， 上单调递减．
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减．
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